Questão 152 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Equações do 1º grau aplicadas a problemas de custo e proporção
• ⚡ Nível: Médio — exige montar uma equação de custo ponderando corretamente as frações da receita, e não apenas comparar preços diretamente
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas cotidianos com equações do 1º grau e grandezas proporcionais (Matemática Financeira aplicada)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual deve ser o novo preço do quilograma de amendoim para que o custo total de uma receita continue igual, depois que o açúcar ficou mais caro?"
• Palavras-chave decisivas: manter o mesmo custo, desconto, novo valor do quilograma
• Armadilha típica: subtrair diretamente a diferença de preço do açúcar (R$ 2,20 − R$ 2,00 = R$ 0,20) do preço do amendoim, como se os dois ingredientes entrassem na receita em quantidades iguais. Isso ignora que a receita usa proporções bem diferentes: 4/5 kg de amendoim contra apenas 1/5 kg de açúcar.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de escrever o custo total da receita como uma soma ponderada (quantidade × preço) para as duas situações — antes e depois do aumento — e igualar essas duas expressões para isolar o novo preço do amendoim.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Custo de uma mistura: quando um produto é composto por partes de insumos diferentes, o custo total é a soma de "quantidade usada × preço unitário" de cada insumo.
• Equação do 1º grau como ferramenta de modelagem: a incógnita (novo preço do amendoim) aparece multiplicada por um coeficiente conhecido (4/5), e a equação é resolvida isolando essa incógnita.
• Proporcionalidade direta: o impacto de uma variação de preço no custo total depende diretamente da quantidade em que o insumo é usado — por isso um aumento de R$ 0,20 no açúcar (usado pouco) pesa muito menos que uma variação equivalente no amendoim (usado muito).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "4/5 de quilograma de amendoim e 1/5 de quilograma de açúcar" → define os pesos fixos que devem multiplicar cada preço na equação de custo; nenhum dos dois pode ser ignorado ou tratado como "1 kg".
• Evidência 2: "Para manter o mesmo custo com a produção de uma receita" → é a condição central do problema: Custo novo = Custo antigo. Toda a resolução gira em torno de igualar essas duas expressões.
• Evidência 3: "o açúcar teve um aumento e o quilograma passou a custar R$ 2,20" (preço do amendoim vira incógnita) → mostra qual variável é conhecida (novo preço do açúcar) e qual precisa ser encontrada (novo preço do amendoim).
• Síntese: o caminho é calcular o custo original da receita com os preços antigos, depois escrever o custo novo trocando apenas o preço do açúcar e deixando o preço do amendoim como incógnita x, e resolver a equação Custo novo = Custo antigo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Custo original da receita

Com os preços antigos (amendoim R$ 10,00/kg e açúcar R$ 2,00/kg):

Custo(original) = 4/5 × 10,00 + 1/5 × 2,00

Custo(original) = 8,00 + 0,40

Custo(original) = R$ 8,40

Esse é o valor que precisa ser mantido depois do reajuste do açúcar.

Subpasso 4.2 — Montagem e resolução da equação com o novo preço do açúcar

Seja x o novo preço do quilograma de amendoim. O açúcar agora custa R$ 2,20/kg, e a condição do problema é que o custo total continue igual a R$ 8,40:

4/5 × x + 1/5 × 2,20 = 8,40

4/5 x + 0,44 = 8,40

4/5 x = 8,40 − 0,44

4/5 x = 7,96

x = 7,96 × 5/4

x = 7,96 × 1,25

x = 9,95

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo x = 9,95 na equação original:

4/5 × 9,95 = 7,96

1/5 × 2,20 = 0,44

7,96 + 0,44 = 8,40 ✓

O valor bate exatamente com o custo original de R$ 8,40, confirmando que o novo preço do amendoim deve ser R$ 9,95, correspondente à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 9,20.

❌ Incorreta: esse valor surge se as frações da receita forem trocadas entre si — usar 1/5 para o amendoim e 4/5 para o açúcar. Nesse cenário errado, o custo original seria 1/5×10 + 4/5×2 = R$ 3,60, e a equação 1/5×x + 4/5×2,20 = 3,60 daria x = 9,20. O erro conceitual é inverter os pesos de cada ingrediente na receita, contrariando o que foi dito no enunciado (4/5 de amendoim, 1/5 de açúcar).

B) R$ 9,75.

❌ Incorreta: esse resultado aparece quando o estudante pondera corretamente o lado do amendoim (divide por 4/5), mas esquece de ponderar o aumento do açúcar pela fração de 1/5 usada na receita. Ao usar a diferença de preço "cheia" do açúcar (R$ 0,20) em vez do real impacto na receita (R$ 0,04), a conta fica 0,20 ÷ (4/5) = 0,25, levando a 10,00 − 0,25 = 9,75. O erro é misturar uma grandeza não ponderada (diferença total de preço) com uma ponderação parcial.

C) R$ 9,80.

❌ Incorreta: é o resultado de subtrair diretamente a diferença de preço do açúcar (R$ 0,20) do preço do amendoim, como se 1 kg de amendoim "compensasse" 1 kg de açúcar na mesma proporção. Esse raciocínio ignora completamente os pesos 4/5 e 1/5 da receita — o erro conceitual clássico da armadilha do Passo 1.

D) R$ 9,84.

❌ Incorreta: surge de uma operação dimensionalmente equivocada, multiplicando a diferença de preço do açúcar pela fração do amendoim em vez de dividir: 0,20 × 4/5 = 0,16, e 10,00 − 0,16 = 9,84. O erro é confundir "distribuir um custo entre as partes da receita" com "multiplicar pela fração", operação que não representa fisicamente nenhuma etapa do problema.

E) R$ 9,95.

✅ Correta: é o único valor que, ao ser multiplicado pela fração correta de amendoim (4/5) e somado ao novo custo correto do açúcar (1/5 × 2,20 = 0,44), reproduz exatamente o custo original da receita (R$ 8,40), como demonstrado na verificação do Passo 4.

🏆 Gabarito: E — R$ 9,95 é o único preço do amendoim que, ponderado pela fração de 4/5 kg da receita, compensa exatamente o aumento de R$ 0,04 no custo do açúcar, mantendo o custo total em R$ 8,40.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa E é a única compatível com a equação de custo ponderado pelas frações reais da receita (4/5 e 1/5); todas as demais surgem de erros ao ignorar, inverter ou aplicar incorretamente esses pesos.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra situações de "mistura" ou "composição" — receitas, ligas metálicas, combustíveis, soluções — em que o custo ou uma grandeza final depende de proporções fixas entre componentes, testando se o estudante sabe montar uma equação ponderada em vez de comparar valores diretamente.
• Generalização: sempre que um problema envolver "manter o mesmo total" após a variação de um dos componentes de uma mistura, escreva a equação Custo(novo) = Custo(antigo), substituindo apenas o que mudou e mantendo as proporções fixas como coeficientes.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o impacto real do aumento (aqui, R$ 0,04 por receita, não os R$ 0,20 "brutos" do preço do açúcar) — isso já elimina de cara respostas como a C, que usam a diferença de preço sem nenhuma ponderação.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de médias ponderadas e em problemas de misturas químicas (concentração de soluções), onde proporções fixas definem o peso de cada componente no resultado final.