Questão 164 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana (circunferência), comprimento de arco e ângulo central em radianos
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir uma situação física (dois percursos de pista) em duas equações com a fórmula s = R·θ e depois manipular essas equações algebricamente até isolar a razão pedida
• 🎯 Tema/Habilidade: Comprimento de arco de circunferência aplicado à comparação de trajetórias concêntricas; modelagem geométrica de uma situação-problema com dados fornecidos no próprio enunciado
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva, em função de R₁ e R₂, o valor da razão entre o ângulo central P₂ĈP₁ e a diferença (L − l), sabendo que ambos os atletas percorrem a mesma distância total L, com trechos retos finais de mesmo comprimento l."
• Palavras-chave decisivas: mesma distância (L), mesmo comprimento (l), tangentes, comprimento de arco = raio × ângulo
• Armadilha típica: achar que o ângulo pedido é simplesmente proporcional à diferença dos raios (R₂ − R₁), ignorando que a relação correta entre arco e ângulo é uma divisão (θ = s/R), não uma subtração direta de raios.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato entende que, para um mesmo comprimento de arco, o ângulo central é inversamente proporcional ao raio — e que sabe montar essa relação para as duas pistas e subtraí-las na ordem correta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Comprimento de arco (s = R·θ): fórmula dada explicitamente no enunciado; relaciona o comprimento de um arco com o raio da circunferência e o ângulo central correspondente, medido em radianos.
• Circunferências concêntricas: as duas pistas têm o mesmo centro C, mas raios diferentes (R₁ > R₂); arcos de mesmo comprimento nessas circunferências correspondem a ângulos centrais diferentes.
• Tangência reta-circunferência: no ponto de tangência, o raio é perpendicular à reta tangente. Como os dois trechos retos finais (comprimento l) têm a mesma direção (correm lado a lado até a linha de chegada), os raios que ligam C aos respectivos pontos de tangência apontam exatamente na mesma direção — ou seja, esses pontos estão alinhados radialmente com C.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "percorrendo, desta forma, a mesma distância (L)" → para cada atleta, arco percorrido + trecho reto final = L.
• Evidência 2: "os trechos retos... têm o mesmo comprimento (l) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos" → a parte curva de cada percurso mede exatamente L − l em ambas as pistas, e os pontos onde a curva termina (início da reta) estão alinhados com C, pois as retas são tangentes e paralelas entre si.
• Evidência 3: "o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano" → fornece a ferramenta algébrica exata para resolver a questão: s = R·θ.
• Síntese: como a parte curva de cada percurso mede L − l e os pontos finais das curvas coincidem em direção a partir de C, o ângulo total varrido por cada atleta (do ponto de partida até esse alinhamento) é θ = (L−l)/R. A diferença entre esses dois ângulos é justamente o ângulo P₂ĈP₁.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificando os pontos de tangência e o alinhamento radial

Chame de T₁ o ponto da pista externa (raio R₁) onde a curva termina e começa o trecho reto, e de T₂ o ponto correspondente na pista interna (raio R₂). Como os dois trechos retos finais são paralelos entre si (correm juntos até a mesma linha de chegada) e são tangentes às respectivas curvas, os raios CT₁ e CT₂ são perpendiculares a essas retas na mesma direção — logo CT₁ e CT₂ apontam exatamente para o mesmo lado a partir de C. Isso significa que P₁, C, T₁ e P₂, C, T₂ definem ângulos que podem ser comparados diretamente, porque T₁ e T₂ "enxergam" a mesma direção vista de C.

Subpasso 4.2 — Aplicando s = R·θ em cada pista

Cada atleta percorre, na parte curva do trajeto, um arco de comprimento L − l (já que arco + reta = L, e a reta mede l nas duas pistas). Aplicando a fórmula do enunciado:

• Pista externa (raio R₁): L − l = R₁ · θ₁ ⟹ θ₁ = (L − l)/R₁, onde θ₁ = ângulo P₁ĈT₁
• Pista interna (raio R₂): L − l = R₂ · θ₂ ⟹ θ₂ = (L − l)/R₂, onde θ₂ = ângulo P₂ĈT₂

Repare no ponto central do problema: o mesmo comprimento de arco (L − l) gera ângulos diferentes, porque os raios são diferentes. Como R₂ < R₁, e θ = (L−l)/R, quanto menor o raio, maior o ângulo necessário para cobrir o mesmo arco. Logo θ₂ > θ₁: a pista interna "gira" um ângulo maior para percorrer o mesmo comprimento de curva.

Subpasso 4.3 — Isolando o ângulo P₂ĈP₁ e verificando o resultado

Como CT₁ e CT₂ têm a mesma direção a partir de C (Subpasso 4.1), o ângulo entre CP₁ e CP₂ é exatamente a diferença entre θ₂ e θ₁:

P₂ĈP₁ = θ₂ − θ₁ = (L − l)/R₂ − (L − l)/R₁ = (L − l) · (1/R₂ − 1/R₁)

Isolando a razão pedida:

[P₂ĈP₁] ÷ (L − l) = 1/R₂ − 1/R₁

Verificação: a expressão tem dimensão de [ângulo]/[comprimento] = 1/[comprimento], compatível com 1/R₂ − 1/R₁ (também 1/[comprimento]). Além disso, como R₂ < R₁, o resultado 1/R₂ − 1/R₁ é positivo, coerente com um ângulo positivo. O resultado bate exatamente com a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R₂ − R₁

❌ Incorreta: essa expressão tem dimensão de comprimento (é uma subtração direta de raios), enquanto a razão pedida — ângulo dividido por comprimento — precisa ter dimensão de 1/comprimento. Esse erro surge de ignorar a fórmula s = R·θ e tentar relacionar os raios de forma linear direta, sem passar pela divisão que a fórmula exige. Além disso, o resultado seria negativo (R₂ < R₁), o que não faz sentido para um ângulo positivo.

B) 1/R₁ − 1/R₂

❌ Incorreta: tem a forma certa (diferença de inversos dos raios), mas com a ordem trocada. Essa expressão equivale a θ₁ − θ₂, que é negativa (pois θ₂ > θ₁, já que R₂ < R₁). É o erro clássico de inverter a ordem da subtração ao montar a equação, resultando num valor com sinal errado para o ângulo P₂ĈP₁.

C) 1/R₂ − 1/R₁

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido em 4.3, decorrente de aplicar s = R·θ nas duas pistas para o mesmo arco (L − l) e subtrair θ₂ − θ₁ na ordem correta, já que o ponto de partida na pista de raio menor (R₂) varre um ângulo maior.

D) 1/(R₂ − R₁)

❌ Incorreta: é o erro algébrico clássico de tratar 1/R₂ − 1/R₁ como se fosse igual a 1/(R₂ − R₁) — uma confusão entre subtração de frações e subtração dentro de uma única fração (1/a − 1/b ≠ 1/(a−b), exceto em casos particulares). Embora tenha a dimensão correta (1/comprimento), o valor numérico é diferente do correto.

E) 1/R₁ + 1/R₂

❌ Incorreta: troca a subtração pela soma, como se os ângulos θ₁ e θ₂ se somassem para formar o ângulo P₂ĈP₁. Isso só ocorreria se P₁ e P₂ estivessem em lados opostos do raio de referência (CT₁/CT₂), o que não é o caso — ambos os pontos de partida estão do mesmo lado, "atrás" do alinhamento com C, e por isso os ângulos se subtraem, não se somam.

🏆 Gabarito: C — a razão pedida é 1/R₂ − 1/R₁, resultado direto de aplicar s = R·θ às duas pistas para o mesmo comprimento de arco (L − l) e subtrair os ângulos na ordem correta (θ₂ − θ₁, já que o raio menor exige ângulo maior).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única alternativa compatível simultaneamente com a dimensão correta (1/comprimento), o sinal correto (positivo) e a álgebra correta (subtração de duas frações independentes, não uma fração única) é a C, 1/R₂ − 1/R₁.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente fornece a fórmula necessária diretamente no enunciado (aqui, s = R·θ) e cobra a capacidade de traduzir uma descrição geométrica em linguagem verbal para um sistema de equações — o desafio não é "decorar fórmula", é modelar a situação corretamente.
• Generalização: sempre que um problema envolver o mesmo comprimento de arco distribuído em circunferências de raios diferentes, lembre-se de que o ângulo central é inversamente proporcional ao raio (θ = s/R); comparar dois ângulos assim quase sempre gera uma subtração de frações do tipo 1/R₂ − 1/R₁.
• Dica de eliminação rápida: confira a dimensão física da resposta — ângulo/comprimento deve ter unidade de 1/comprimento, o que já elimina a alternativa A (R₂ − R₁ tem unidade de comprimento). Lembre também que 1/a − 1/b nunca é igual a 1/(a−b), o que elimina D. Por fim, o raio menor sempre "ganha" o ângulo maior para o mesmo arco, então a fração com o raio menor deve vir primeiro na subtração — isso decide entre B, C e E.
• Conexões: comprimento de circunferência e perímetro, velocidade angular e MRU circular, conversão entre graus e radianos — temas que costumam aparecer juntos em questões de geometria aplicada a contextos de pistas, rodas e engrenagens.