Questão 146 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Escalas, semelhança de figuras e área de figuras planas
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar corretamente duas ideias (escala linear e a diferença entre "área do círculo" e "área mínima da parede retangular")
• 🎯 Tema/Habilidade: Razão de escala aplicada a uma ampliação e cálculo da área da menor região retangular capaz de conter uma figura circular (competência de Grandezas e Medidas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Depois de ampliar a logomarca circular na escala 1:25, qual é a área mínima da parede retangular capaz de conter o desenho inteiro?"
• Palavras-chave decisivas: maior círculo, escala de 1 : 25, área mínima
• Armadilha típica: calcular a área do círculo ampliado (usando π) achando que essa é a "área da logomarca", esquecendo que a pergunta é sobre a parede, que é retangular e não acompanha o contorno curvo do desenho.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de (1) aplicar a escala corretamente ao diâmetro do círculo maior e (2) perceber que a menor região retangular que envolve um círculo é um quadrado cujo lado é o diâmetro desse círculo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala de ampliação (1:25): significa que cada 1 cm no desenho original corresponde a 25 cm na reprodução real. É um fator de multiplicação sobre medidas lineares (raio, diâmetro, lados) — não sobre a área diretamente.
• Efeito da escala na área: quando uma medida linear multiplica por um fator k, a área multiplica por k². Por isso, aplicar a escala apenas uma vez a uma "medida de área" é um erro comum.
• Menor retângulo que contém um círculo: como uma parede é plana e retangular, ela não pode "abraçar" o contorno curvo do desenho. A menor figura retangular (na verdade, quadrada) que contém totalmente um círculo tem lado igual ao diâmetro desse círculo — e não ao raio.
• Diferença entre "área da figura" e "área da parede": a área do círculo (π·r²) mede o espaço ocupado pela logomarca; a área da parede precisa ser, no mínimo, a de um quadrado que envolve o círculo, que é sempre maior do que a área do próprio círculo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O maior círculo tem medida de raio igual a 6 cm" → é a circunferência que delimita toda a logomarca (a pata do gato, com as quatro almofadas dos dedos e o coxim central, está inteiramente inscrita nesse círculo maior, como mostra a figura).
• Evidência 2: "fará a ampliação da logomarca utilizando a escala de 1 : 25" → todo comprimento do desenho original deve ser multiplicado por 25 para se obter a medida real na parede.
• Evidência 3: "A área mínima... que a parede deverá ter para que a logomarca seja aplicada" → a parede é retangular; a menor parede possível é aquela cujo formato quadrado tem lado igual ao diâmetro do círculo ampliado.
• Síntese: o caminho é: (1) achar o diâmetro do círculo original, (2) ampliar esse diâmetro pela escala 1:25, (3) calcular a área do quadrado de lado igual a esse diâmetro ampliado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Diâmetro do círculo original

O raio do maior círculo é 6 cm, logo o diâmetro é:

D = 2 × r = 2 × 6 = 12 cm

Subpasso 4.2 — Aplicando a escala de ampliação 1 : 25

Na escala 1 : 25, cada 1 cm do desenho corresponde a 25 cm na parede. Como a escala atua sobre medidas lineares, o diâmetro real (ampliado) será:

D_real = 12 cm × 25 = 300 cm

Convertendo para metros (1 m = 100 cm):

D_real = 300 ÷ 100 = 3 m

Subpasso 4.3 — Área mínima da parede (quadrado que envolve o círculo)

Como a parede é retangular e precisa conter todo o círculo ampliado, a menor forma que o faz é um quadrado cujo lado é exatamente o diâmetro do círculo (3 m de lado, tocando o círculo nos quatro pontos extremos — topo, base, esquerda e direita).

Área_mínima = lado² = 3² = 9 m²

Subpasso 4.4 — Verificação

Confira: 9,00 aparece exatamente na alternativa D. Note que, se em vez do quadrado calculássemos apenas a área do círculo, teríamos π × 1,5² ≈ 7,07 m² — um valor menor, mas que não representa a menor parede retangular, pois nenhuma parede real poderia ter contorno circular. O resultado 9,00 m² é, portanto, coerente com o enunciado, que pede a área da parede (retangular), não da figura em si.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2,25.

❌ Incorreta: resulta de usar o raio ampliado (1,5 m) como se fosse o lado do quadrado, em vez do diâmetro (3 m): 1,5² = 2,25. Esse erro ignora que o círculo se estende 1,5 m para cada lado do centro, exigindo um quadrado de lado 3 m (2 × 1,5 m), não de 1,5 m.

B) 6,00.

❌ Incorreta: surge de tratar a área como uma grandeza linear, calculando apenas "2 × lado" (2 × 3 m = 6) em vez de elevar o lado ao quadrado (3² = 9). Esse é o erro clássico de confundir a fórmula de área de um quadrado (lado × lado) com uma simples duplicação do lado.

C) 7,06.

❌ Incorreta: é o valor da área do círculo ampliado, calculada por π × r² = π × 1,5² ≈ 7,07 m² (aproximando π). Esse valor mediria a área ocupada pela logomarca em si, mas a pergunta pede a área da parede retangular mínima que a comporta — que necessariamente é maior que a área do círculo, pois sobra espaço nos quatro "cantos" do quadrado que a circunferência não ocupa.

D) 9,00.

✅ Correta: o diâmetro do círculo maior, ampliado pela escala 1:25, mede 3 m (12 cm × 25 = 300 cm = 3 m). A menor parede retangular capaz de conter esse círculo é um quadrado de lado 3 m, cuja área é 3² = 9 m².

E) 36,00.

❌ Incorreta: decorre de usar o valor original do raio (6, em cm) diretamente como se já fosse a medida real em metros do lado do quadrado, calculando 6 × 6 = 36 — um erro que ignora completamente a aplicação da escala 1:25 e a conversão de unidades (cm para m).

🏆 Gabarito: D — o diâmetro do círculo ampliado é 3 m (12 cm × 25), e a menor parede retangular que comporta o desenho é um quadrado de lado 3 m, com área 3² = 9,00 m².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa D é a única que aplica corretamente os dois passos exigidos — ampliar o diâmetro (não o raio isolado) pela escala e depois elevar esse valor ao quadrado para achar a área do quadrado circunscrito, sem confundir com a área do círculo.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora combinar "escala/razão de semelhança" com "área mínima que envolve uma figura" — geralmente pedindo o menor retângulo, quadrado ou terreno capaz de conter um objeto circular, elíptico ou irregular.
• Generalização: sempre que uma figura circular precisar ser "embalada" por uma superfície retangular, a menor área possível é a do quadrado de lado igual ao diâmetro do círculo — nunca a área do próprio círculo (que é sempre π/4 ≈ 78,5% da área desse quadrado).
• Dica de eliminação rápida: converta tudo para metros antes de multiplicar, calcule sempre o diâmetro (não o raio) para achar o lado do quadrado, e desconfie de qualquer alternativa que "pareça" a área de um círculo (valores com resquício de π, como 7,06 ou 7,07) quando a pergunta fala em parede/terreno retangular.
• Conexões: temas irmãos são "razão de semelhança em plantas e mapas" e "área de figuras compostas/circunscritas", ambos recorrentes nas provas de Matemática do ENEM.