Questão 136 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Estatística → média aritmética e leitura de quadro
• Habilidade: H27 — calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados ou em gráficos
• Nível: Médio — a média é fácil de calcular; o que derruba o candidato é a palavra "ultrapasse"
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: quantos gols a equipe B ainda precisa marcar para o total dela ficar acima da média da equipe A.
• Palavras-chave decisivas: ultrapasse, no mínimo, média de gols marcados pela equipe A nos campeonatos de 2007 a 2012.
• A armadilha: empatar com a média e achar que resolveu. "Ultrapassar" é ficar estritamente acima, e a prova reserva uma alternativa exatamente para quem para no empate.
• O que a resposta precisa mostrar: que você calcula a média corretamente e traduz "ultrapassar" em desigualdade estrita, com resposta em número inteiro de gols.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Média aritmética: soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Aqui são seis campeonatos, de 2007 a 2012, logo a divisão é por 6. A média não precisa coincidir com nenhum valor da lista.
• Moda: o valor que mais se repete. No quadro, 61 gols aparece duas vezes (2009 e 2011) — é a moda, e é um número atraente que não foi pedido.
• Mediana: o valor central com os dados em ordem. Ordenando 45, 58, 59, 61, 61, 64, a mediana é a média dos dois centrais, (59 + 61) ÷ 2 = 60. Também não foi pedida.
• Ultrapassar: ficar estritamente maior. Em símbolos, >, não ≥. Igualar a média é justamente o que o enunciado exclui.
• Mínimo inteiro que satisfaz uma desigualdade: se x > 6 e x conta gols, x não pode ser 6,1 nem 6,5. O menor inteiro possível é 7. Gol é grandeza discreta.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: o quadro traz o número de gols da equipe A ano a ano — 2007: 64, 2008: 59, 2009: 61, 2010: 45, 2011: 61, 2012: 58 → seis valores, um por campeonato. É essa lista, e só ela, que entra na média.
• Evidência 2: "o número de gols marcados pela equipe B era 52" → ponto de partida da equipe B, com o campeonato de 2013 ainda em andamento.
• Evidência 3: "de modo que, ao final do campeonato, o número total de gols marcados pela equipe B ultrapasse a média de gols marcados pela equipe A" → a comparação é entre o total acumulado de B (52 mais o que vier) e a média de A. Não é gol por campeonato de B, é o total.
• Evidência 4: "Quantos gols, no mínimo, a equipe B ainda precisaria marcar?" → pede o menor inteiro que faz a desigualdade valer.
• Síntese: monta-se 52 + x > média de A, calcula-se a média com os seis valores do quadro e busca-se o menor inteiro x.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Somar os gols da equipe A

Somando os seis valores do quadro, um a um:

• 64 + 59 = 123
• 123 + 61 = 184
• 184 + 45 = 229
• 229 + 61 = 290
• 290 + 58 = 348

Total de 348 gols em seis campeonatos.

4.2 — Calcular a média

• média = 348 ÷ 6
• média = 58 gols por campeonato

Vale conferir a plausibilidade: 58 fica entre o menor valor do quadro (45, em 2010) e o maior (64, em 2007), como toda média deve ficar.

4.3 — Montar a desigualdade

Chamando de x o número de gols que ainda faltam:

• 52 + x > 58
• x > 58 − 52
• x > 6

4.4 — Escolher o menor inteiro

x tem de ser maior que 6, e gol é contagem inteira. O menor inteiro estritamente maior que 6 é 7.

4.5 — Verificação

Testando os dois candidatos vizinhos:

• com 6 gols: 52 + 6 = 58, que iguala a média — não ultrapassa
• com 7 gols: 52 + 7 = 59, que é maior que 58 — ultrapassa

Gabarito: C.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) 2 — Levaria a equipe B a 52 + 2 = 54 gols, seis abaixo da média de 58. É o valor de quem estima "por alto" olhando o quadro sem somar, ou de quem compara os 52 gols com o pior desempenho da equipe A (45 gols em 2010) em vez de compará-los com a média. O enunciado é explícito: a referência é a média dos seis campeonatos.

❌ (B) 6 — O distrator central da questão. A conta 58 − 52 = 6 está certa, mas responde a outra pergunta: quantos gols faltam para igualar a média. Com 6 gols, o total de B fica exatamente em 58, e igualar não é ultrapassar. A desigualdade do enunciado é estrita, x > 6, e 6 não satisfaz x > 6.

✅ (C) 7 — A soma dos seis valores do quadro é 348 gols, o que dá média de 348 ÷ 6 = 58 gols por campeonato. De 52 gols, a equipe B precisa de x tal que 52 + x > 58, isto é, x > 6. O menor inteiro que atende é 7, e de fato 52 + 7 = 59 > 58.

❌ (D) 9 — Resultado de usar a mediana no lugar da média. Ordenados, os valores são 45, 58, 59, 61, 61 e 64, e a mediana é (59 + 61) ÷ 2 = 60. De 52 para ultrapassar 60 seriam necessários 9 gols. A medida de tendência central pedida, porém, é a média.

❌ (E) 10 — Resultado de usar a moda. O valor 61 aparece duas vezes no quadro, em 2009 e em 2011, e ultrapassar 61 partindo de 52 exige 10 gols. Moda é o valor mais frequente, não a média — e o enunciado não pede o desempenho mais comum da equipe A, e sim o desempenho médio.

Gabarito: C — a média da equipe A é 58 gols; partindo de 52, a equipe B precisa de no mínimo 7 gols para chegar a 59 e ultrapassá-la.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só C se sustenta: B para no empate, D e E trocam a medida de tendência central e A nem chega perto. Só C combina a média correta com a desigualdade estrita.
• Como o ENEM cobra isso: média com quadro de seis a dez valores é presença garantida, quase sempre com moda e mediana oferecidas como distratores. A prova testa se você lê qual medida foi pedida.
• A regra geral: "ultrapassar", "superar" e "exceder" pedem >. "Atingir", "alcançar" e "chegar a" pedem ≥. Um verbo muda a resposta em uma unidade, e é sempre a unidade que separa duas alternativas.
• Eliminação em 30 segundos: calcule a média (348 ÷ 6 = 58) e faça 58 − 52 = 6. Se 6 estiver entre as alternativas junto com 7, a resposta é 7 — a prova só coloca as duas juntas quando o verbo é "ultrapassar".
• Temas que costumam vir junto: média ponderada, mediana em conjunto de tamanho par, amplitude e desvio, e leitura de gráficos de barras com o mesmo tipo de comparação.