Questão 173 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Combinação Simples)
• ⚡ Nível: Fácil — é uma aplicação direta da fórmula de combinação simples, sem cálculos complexos ou múltiplas etapas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Combinação simples de n elementos tomados k a k, reconhecendo quando a ordem dos elementos não influencia o resultado.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual expressão matemática representa o número de trios de flores diferentes que podem ser formados a partir de 5 variedades disponíveis?"
• Palavras-chave decisivas: "três variedades distintas", "não importando como elas serão dispostas", "quantidade de trios possíveis"
• Armadilha típica: ignorar a expressão "não importando como elas serão dispostas" e aplicar a fórmula de arranjo (que conta a ordem de disposição), chegando à alternativa C em vez da combinação correta.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato reconhece a diferença entre agrupamentos ordenados (arranjo) e agrupamentos não ordenados (combinação), e sabe montar corretamente a fórmula C(n,k) = n!/((n−k)!·k!).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Arranjo simples A(n,k) = n!/(n−k)!: conta agrupamentos em que a ORDEM importa — trocar a posição de dois elementos gera um agrupamento diferente (ex.: senhas, pódios, filas).
• Combinação simples C(n,k) = n!/((n−k)!·k!): conta agrupamentos em que a ordem NÃO importa — trocar a posição dos elementos dentro do grupo não gera um novo agrupamento (ex.: comissões, grupos, trios sem função definida).
• Fatorial (n!): produto de todos os inteiros positivos até n (n! = n·(n−1)·…·1); ele aparece no denominador da combinação justamente para "descontar" as ordens internas repetidas do grupo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "serão utilizadas somente três variedades distintas, não importando como elas serão dispostas" → a ordem em que as flores são plantadas dentro do canteiro é irrelevante; o que define o canteiro é apenas QUAIS três variedades o compõem.
• Evidência 2: "Entre as possíveis variedades […] foram escolhidas cinco" → estabelece o total de elementos disponíveis, n = 5.
• Evidência 3: "todos com composições diferentes" e "trios de variedades" → cada canteiro corresponde a um subconjunto de 3 flores (k = 3), e subconjuntos com as mesmas 3 flores em ordens diferentes não devem ser contados mais de uma vez.
• Síntese: como a ordem não importa e cada trio tem elementos distintos sem repetição, o problema pede uma combinação simples de 5 elementos tomados 3 a 3, isto é, C(5,3).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o modelo combinatório correto

A pergunta envolve escolher grupos de 3 variedades de flores dentre 5 disponíveis (amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida, lírio), sem repetir flor dentro do mesmo trio. O enunciado deixa explícito que a disposição das flores no canteiro não gera trios diferentes — ou seja, {amor-perfeito, cravina, petúnia} é o MESMO canteiro que {petúnia, amor-perfeito, cravina}. Isso é a marca registrada de uma combinação simples, cuja fórmula geral é C(n,k) = n! / [(n−k)! · k!].

Subpasso 4.2 — Substituir os valores do problema

Aqui, n = 5 (total de variedades disponíveis) e k = 3 (variedades usadas em cada canteiro). Substituindo diretamente na fórmula: C(5,3) = 5! / [(5−3)! · 3!]. Essa expressão já corresponde, termo a termo, à estrutura pedida no enunciado — "a quantidade de trios possíveis é dada por" — sem necessidade de simplificação numérica, já que a questão pede a EXPRESSÃO, não o valor final.

Subpasso 4.3 — Verificação (cálculo numérico de conferência)

Para confirmar que a fórmula escolhida é coerente, calcula-se o resultado numérico: 5! = 120; (5−3)! = 2! = 2; 3! = 6; logo C(5,3) = 120 / (2 × 6) = 10. Listando diretamente, os 10 trios são: {amor-perfeito, cravina, petúnia}, {amor-perfeito, cravina, margarida}, {amor-perfeito, cravina, lírio}, {amor-perfeito, petúnia, margarida}, {amor-perfeito, petúnia, lírio}, {amor-perfeito, margarida, lírio}, {cravina, petúnia, margarida}, {cravina, petúnia, lírio}, {cravina, margarida, lírio} e {petúnia, margarida, lírio}. São exatamente 10, validando a fórmula 5!/((5−3)!·3!).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5

❌ Incorreta: representa apenas o número total de variedades disponíveis (n), sem processo de contagem de agrupamentos. Confunde "total de opções" com "total de trios possíveis".

B) 5 · 3

❌ Incorreta: multiplicação ingênua entre o número de variedades (5) e o tamanho do grupo (3), sem fundamento em nenhum princípio de contagem válido. Resultaria em 15, valor sem significado combinatório para este problema.

C) 5!/(5 − 3)!

❌ Incorreta: é a fórmula do arranjo simples A(5,3), que conta agrupamentos ORDENADOS. É a armadilha central da questão: quem ignora "não importando como elas serão dispostas" aplica arranjo em vez de combinação, contando cada ordem de plantio como um canteiro diferente — o que superestima o resultado (A(5,3) = 60, seis vezes maior que o correto).

D) 5!/((5 − 3)!2!)

❌ Incorreta: divide o arranjo pelo fatorial errado — usa 2! no lugar de 3!. Tem "cara" de combinação, mas o fatorial do denominador deve corresponder ao número de elementos escolhidos por grupo (k = 3), não a outro valor. É uma pegadinha algébrica para testar atenção aos detalhes da fórmula.

E) 5!/((5 − 3)!3!)

✅ Correta: é exatamente a fórmula da combinação simples C(5,3) = n!/((n−k)!·k!), com n = 5 e k = 3. Ela conta o número de subconjuntos de 3 flores distintas entre as 5 disponíveis, sem considerar a ordem de disposição — exatamente a condição estabelecida pelo enunciado.

🏆 Gabarito: E — a expressão 5!/((5−3)!·3!) é a fórmula de combinação simples C(5,3), a única estrutura que descarta corretamente as ordens repetidas dentro de cada trio, condizente com "não importando como elas serão dispostas".

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E aplica a fórmula correta de combinação — n!/((n−k)!·k!) — com n = 5 e k = 3, compatível com a exigência de que a ordem das flores no canteiro não gera trios diferentes.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra combinação simples com frases-chave como "não importa a ordem", "grupos", "comissões", "independente da disposição". O arranjo, por sua vez, aparece com pistas de ordem relevante, como "senha", "código", "pódio", "cargos diferentes".
• Generalização: sempre que o problema pedir a formação de GRUPOS (sem posições ou papéis diferenciados), a resposta é combinação C(n,k) = n!/((n−k)!·k!). Se a ordem interna importar, o modelo correto é arranjo A(n,k) = n!/(n−k)!.
• Dica de eliminação rápida: localize "não importando..." no enunciado — ela elimina de cara qualquer fórmula sem "k!" no denominador (caso da alternativa C, de arranjo). Depois, confira se o k! usado corresponde ao tamanho do grupo pedido (aqui, 3, não 2) para descartar a alternativa D.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em probabilidade (cálculo do espaço amostral) e no Binômio de Newton, onde os coeficientes binomiais Cₙ,ₖ determinam os termos da expansão (a + b)ⁿ.