Questão 150 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Geometria espacial → projeção ortogonal sobre um plano
• Habilidade: H7 — identificar características de figuras planas ou espaciais
• Nível: Difícil — exige separar os trechos do trajeto que estão num mesmo plano vertical daquele que sai desse plano
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: que desenho aparece na mesa quando a sombra vertical do caminho da formiga, de A até E, é projetada sobre ela.
• Palavras-chave decisivas: projeção ortogonal, sobre o plano da mesa, A, B, D e E estão sobre um mesmo plano perpendicular à mesa, C localizado na parte da frente.
• A armadilha: projetar cada trecho mantendo a forma que ele tem no espaço — a reta continua reta, os arcos continuam arcos. Só que o arco DE está dentro do plano vertical, e tudo o que está num plano perpendicular à mesa vira um segmento de reta na projeção. O arco desaparece.
• O que a resposta precisa mostrar: que você identifica quais partes do trajeto pertencem ao plano vertical e quais saem dele, porque só as segundas produzem curva na mesa.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Projeção ortogonal sobre um plano: de cada ponto do objeto, traça-se a perpendicular ao plano e marca-se onde ela o encontra. Projetar sobre a mesa é o mesmo que deixar cair uma sombra com a luz vindo exatamente de cima.
• Projeção de um plano perpendicular ao plano de projeção: é uma reta. Este é o fato central da questão. Se todos os pontos de uma figura estão num plano vertical, todas as suas sombras caem sobre a mesma linha da mesa, e a figura inteira — por mais curva que seja — vira um segmento.
• O que a projeção conserva e o que ela perde: conserva as posições horizontais e apaga completamente a altura. Dois pontos na mesma vertical, um a 2 cm e outro a 10 cm da mesa, têm exatamente a mesma sombra.
• Projeção de figura paralela ao plano: é a própria figura, em tamanho real. Uma circunferência horizontal projeta-se como uma circunferência de mesmo raio.
• Curva plana que sai do plano vertical: só ela pode gerar curva na mesa. Se um arco tem pontos fora do plano perpendicular, suas sombras se espalham para os lados da linha, formando um desenho com largura.
• Transparência do castiçal: o enunciado diz que o vidro é transparente apenas para justificar que se enxergue o trajeto inteiro. Não influi na projeção, que é uma construção geométrica e não depende de o objeto ser opaco.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "Os pontos A, B, D e E estão sobre um mesmo plano perpendicular à mesa" → quatro dos cinco pontos vivem num plano vertical. As sombras deles caem todas sobre uma única reta da mesa. Chame-a de reta ℓ.
• Evidência 2: "move-se do ponto A para B em linha reta" → o segmento AB está inteiro no plano vertical. Sua projeção é um segmento sobre ℓ.
• Evidência 3: "percorre o arco circular BCD, sendo C localizado na parte da frente do castiçal" → B e D estão no plano vertical, mas C não: ele está à frente. Logo o arco BCD sai do plano e sua projeção se afasta de ℓ, formando uma curva que parte de um ponto de ℓ e volta a outro ponto de ℓ.
• Evidência 4: "desce o arco DE" → D e E pertencem ao plano vertical, e o enunciado inclui esse arco entre os elementos desse plano. Apesar de ser um arco no espaço, sua projeção é um segmento sobre ℓ — a curvatura dele está na altura, e a altura é justamente o que a projeção elimina.
• Síntese: dos três trechos do trajeto, dois estão no plano vertical e viram segmentos de reta; apenas o arco BCD sai desse plano e vira curva. O desenho projetado é uma reta com uma curva presa a ela.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Fixar o plano de projeção e o plano do trajeto

A mesa é o plano de projeção, horizontal. O plano que contém A, B, D e E é perpendicular a ela, portanto vertical. Dois planos perpendiculares entre si se cortam segundo uma reta: é a reta ℓ, sobre a qual se projeta tudo o que estiver no plano vertical.

4.2 — Projetar o trecho AB

A formiga vai de A a B em linha reta, dentro do plano vertical. Como todo o segmento está nesse plano, sua sombra cai sobre ℓ. A projeção de AB é um segmento de reta contido em ℓ, cujo comprimento é o deslocamento horizontal de A até B — menor que AB, porque a parte vertical do movimento não deixa rastro.

4.3 — Projetar o arco BCD

Aqui está a única fonte de curvatura do desenho. Os extremos B e D estão no plano vertical, então suas sombras estão sobre ℓ. Mas C está na frente do castiçal, fora desse plano, e sua sombra cai afastada de ℓ.

Como o arco é circular e contínuo, sua projeção é uma curva contínua que:

• começa na sombra de B, um ponto de ℓ;
• afasta-se de ℓ para o lado da frente, atingindo o afastamento máximo na sombra de C;
• retorna à sombra de D, outro ponto de ℓ.

Ou seja, um laço curvo apoiado em ℓ, todo de um mesmo lado da reta.

4.4 — Projetar o arco DE

Este é o passo que decide a questão. O arco DE é curvo no espaço — a formiga desce por ele. Mas D e E estão no plano vertical, e o enunciado afirma que o arco pertence a esse plano. Todo ponto desse arco tem sombra sobre ℓ.

A curvatura do arco DE está no plano vertical, isto é, ela combina deslocamento horizontal com variação de altura. A projeção apaga a altura e conserva só o deslocamento horizontal. Resultado: a sombra do arco DE é um segmento de reta sobre ℓ, e não um arco.

4.5 — Montar o desenho final e verificar

Reunindo as três projeções:

• um segmento sobre ℓ, vindo da sombra de A até a de B;
• uma curva que sai de ℓ na sombra de B, avança para a frente e volta a ℓ na sombra de D;
• um segmento sobre ℓ, da sombra de D até a de E.

O resultado é uma reta com um laço curvo preso a ela, e nada mais. A verificação é direta: o desenho só pode ter uma região curva, porque só um dos três trechos sai do plano vertical. Gabarito: C.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) figura formada apenas por segmentos de reta — Ignora que C está fora do plano vertical. Se todo o trajeto estivesse contido nesse plano, a projeção seria de fato um segmento só, e a questão não existiria. Mas o enunciado destaca de propósito a posição de C, "na parte da frente do castiçal", e é justamente esse ponto que empurra a projeção para fora da reta.

❌ (B) figura em que os três trechos aparecem curvos — Comete o erro oposto: conserva no plano todas as curvaturas do espaço. Não é o que a projeção faz. O arco DE está num plano vertical, e a projeção sobre a mesa elimina a componente vertical do movimento — o que sobra é apenas deslocamento horizontal, isto é, um segmento de reta.

✅ (C) figura formada por segmentos de reta com uma curva ligando dois pontos dessa mesma reta — É a projeção correta. Os trechos AB e DE estão no plano perpendicular à mesa, e todo esse plano se projeta sobre uma única reta ℓ; por isso ambos aparecem como segmentos alinhados. Já o arco BCD tem o ponto C fora do plano, na frente do castiçal, e sua sombra se afasta de ℓ para depois voltar, produzindo a única curva do desenho — apoiada em ℓ nos pontos que são as sombras de B e de D.

❌ (D) figura em que o trecho DE aparece como arco fora da reta — Trata o arco DE como se ele saísse do plano vertical, do mesmo modo que BCD. Mas o enunciado separa explicitamente os dois casos: C está na frente, enquanto D e E estão "sobre um mesmo plano perpendicular à mesa", junto com A e B. Só o que sai do plano gera largura na projeção.

❌ (E) figura em que a curva aparece como circunferência completa, fechada — Projeta um arco como se fosse a volta inteira. A formiga percorre o arco BCD, isto é, apenas o trecho de circunferência que vai de B a D passando pela frente. Uma curva fechada indicaria que ela deu a volta completa no castiçal e retornou ao ponto de partida, o que o trajeto descrito não contempla.

Gabarito: C — os trechos contidos no plano vertical projetam-se como segmentos sobre uma única reta, e apenas o arco que passa pela frente do castiçal produz curva na mesa.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só C se sustenta: A elimina a curva que o ponto C obriga a existir; B e D criam curvas onde a projeção só pode dar reta; E transforma um arco em circunferência fechada. C é a única com exatamente uma região curva, apoiada numa reta.
• Como o ENEM cobra isso: projeção ortogonal aparece com sombras de objetos, vistas superior e lateral de peças, e trajetos sobre sólidos. O comando costuma usar as palavras "vista superior", "sombra projetada" ou "projeção ortogonal" — todas pedem o mesmo raciocínio.
• A regra geral: projetar sobre a mesa é apagar a altura e conservar as posições horizontais. Toda figura contida num plano perpendicular ao plano de projeção vira um segmento de reta, por mais curva que seja no espaço. Só o que se afasta desse plano gera desenho com largura.
• Eliminação em 30 segundos: conte as regiões curvas de cada alternativa. O trajeto tem um único trecho que sai do plano vertical, o arco BCD, logo a projeção tem uma única curva. Figuras com zero curvas ou com duas ou mais caem de imediato.
• Temas que costumam vir junto: vistas ortogonais de sólidos, planificações, seções planas de cilindro e cone, e composição de sólidos em perspectiva isométrica.