Questão 143 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (contagem de confrontos em torneios de pontos corridos)
• ⚡ Nível: Médio — a conta final é simples, mas a questão exige duas etapas de raciocínio encadeadas: calcular o total de jogos do campeonato (turno e returno) e só depois isolar os jogos com vencedor.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem do número de partidas em um torneio "todos contra todos" disputado em dois turnos (ida e volta); mobiliza combinação simples C(n,2) aplicada a um contexto esportivo do cotidiano.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que 126 dos jogos de um campeonato de 20 times (turno e returno) terminaram empatados, quantos jogos tiveram um vencedor?"
• Palavras-chave decisivas: dois turnos, duas partidas com cada um dos outros times, 126 empates
• Armadilha típica: calcular o total de jogos considerando só um turno (esquecendo o returno) e, com isso, obter um total pela metade do correto.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe montar corretamente o total de jogos de um campeonato de pontos corridos com turno e returno e, em seguida, aplicar a contagem complementar (total − empates = jogos com vencedor).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples C(n,2): número de maneiras de escolher 2 elementos entre n, sem considerar a ordem. Aqui, conta quantos confrontos distintos existem entre os 20 times, supondo que cada par se enfrentasse apenas uma vez.
• Pontos corridos com turno e returno: cada par de times joga duas vezes — uma vez em cada turno. Isso dobra o número de confrontos calculado por C(n,2).
• Contagem complementar: se todo jogo termina de uma entre duas formas (empate OU com vencedor), então jogos com vencedor = total de jogos − jogos empatados.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "campeonato de futebol, composto por 20 times... sistema de pontos corridos" → define n = 20 times, todos jogando contra todos.
• Evidência 2: "cada time joga duas partidas com cada um dos outros times" (dois turnos) → o total de jogos é o dobro do número de confrontos únicos C(20,2), e não apenas C(20,2).
• Evidência 3: "ocorreram 126 empates" → esse número deve ser subtraído do total de jogos para chegar aos jogos "com vencedor".
• Síntese: o caminho de resolução é: (1) calcular C(20,2); (2) multiplicar por 2 para obter o total de jogos do campeonato inteiro; (3) subtrair os 126 empates.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Confrontos únicos entre os 20 times (um único turno)

Se cada time jogasse apenas uma vez contra cada outro, o número de jogos seria o número de pares possíveis entre 20 times:

C(20,2) = 20!/(2! × 18!) = (20 × 19)/2 = 380/2 = 190 jogos

Subpasso 4.2 — Total de jogos do campeonato (turno e returno)

O enunciado deixa claro que cada par de times se enfrenta duas vezes (turno + returno). Logo, o total de jogos do campeonato inteiro é o dobro do valor anterior:

Total = 190 × 2 = 380 jogos

(Esse mesmo resultado pode ser obtido diretamente por 20 × 19 = 380, já que, com ida e volta, a ordem do confronto passa a importar — mandante de um turno é visitante no outro.)

Subpasso 4.3 — Isolando os jogos com vencedor

Todo jogo do campeonato termina de uma de duas formas: empate ou com vencedor. Como são 126 empates, os jogos com vencedor são o restante:

Jogos com vencedor = Total − Empates = 380 − 126 = 254 jogos

Subpasso 4.4 — Verificação

254 (jogos com vencedor) + 126 (empates) = 380, que é exatamente o total calculado no Subpasso 4.2. A conta fecha e 254 aparece de forma exata entre as alternativas. ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 64.

❌ Incorreta: surge de considerar apenas um único turno — C(20,2) = 190 jogos — e subtrair os 126 empates diretamente (190 − 126 = 64). O erro conceitual é ignorar que o campeonato tem dois turnos, o que dobra o total real de jogos.

B) 74.

❌ Incorreta: resulta de um erro na montagem do total de jogos do campeonato, como usar 20²/2 = 200 no lugar de C(20,2) × 2 = 380 (confundindo a fórmula de combinação com um cálculo de "times ao quadrado"). Com esse total equivocado, 200 − 126 = 74. O erro é estrutural: a fórmula usada para o total de partidas não corresponde ao modelo de pontos corridos.

C) 254.

✅ Correta: 380 jogos totais (190 confrontos únicos × 2 turnos) menos 126 empates resulta em 254 jogos com vencedor, exatamente como demonstrado no Passo 4.

D) 274.

❌ Incorreta: aparece quando se calcula o total de jogos como 20² = 400 (multiplicação direta dos times, sem excluir os "jogos" de um time contra si mesmo, típico de confundir permutação/produto cartesiano com combinação), gerando 400 − 126 = 274. O erro conceitual é não descontar os confrontos impossíveis (um time não joga contra si mesmo).

E) 634.

❌ Incorreta: ocorre ao contar cada confronto entre dois times quatro vezes em vez de duas, isto é, 4 × C(20,2) = 4 × 190 = 760 (como se o turno e o returno fossem contados em dobro por engano), e então subtrair os empates: 760 − 126 = 634. O erro é multiplicar duas vezes pelo fator "turno e returno", que já havia sido aplicado uma vez.

🏆 Gabarito: C — o total de jogos do campeonato é C(20,2) × 2 = 380 (confrontos únicos multiplicados pelos dois turnos). Subtraindo os 126 empates, restam 380 − 126 = 254 jogos com vencedor.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa compatível com o total correto de jogos (380) descontado dos empates informados (126); todas as demais vêm de erros na montagem do total de jogos, não na subtração em si.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente contagens de jogos em campeonatos "todos contra todos" (modelo de grafo completo Kₙ), variando entre turno único e turno/returno, e às vezes pedindo o total de pontos distribuídos em vez do número de jogos.
• Generalização: em um torneio de pontos corridos com n times e k turnos, o número total de jogos é sempre k × C(n,2) = k × n(n−1)/2. Fixe essa fórmula: ela resolve qualquer variação desse tipo de problema.
• Dica de eliminação rápida: ao ler "dois turnos" ou "ida e volta", desconfie de qualquer alternativa que bata com o cálculo de um único turno (aqui, a alternativa A) — ela é a armadilha mais comum. Depois, descarte valores muito acima do total plausível de jogos (como E, que ultrapassa até o dobro do total real).
• Conexões: o mesmo raciocínio de combinação C(n,2) aparece em problemas de "apertos de mão", "diagonais de um polígono" e "número de retas determinadas por n pontos" — todos são variações do mesmo modelo de contagem de pares.