Questão 171 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Aritméticas e interpretação de gráficos de séries temporais
• ⚡ Nível: Médio — exige transformar dois pontos de um gráfico em uma taxa constante de variação e depois projetá-la, ano a ano, até localizar o intervalo correto
• 🎯 Tema/Habilidade: Taxa de variação média e extrapolação linear (Progressão Aritmética) a partir da leitura de um gráfico
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando a queda média por ano observada entre 2009 e 2011, descubra entre quais dois anos consecutivos a taxa de mortalidade passa a ficar abaixo de 10."
• Palavras-chave decisivas: decréscimo anual médio, período de 2009 a 2011, inferior a 10
• Armadilha típica: calcular a taxa usando o intervalo de 2000 a 2011 (ou 2000 a 2009), em vez de usar apenas os dois últimos pontos do gráfico (2009 e 2011), como o enunciado exige explicitamente.
• O que a resposta precisa demonstrar: saber calcular uma razão (variação ÷ tempo), reconhecer que essa razão é a "razão" de uma progressão aritmética decrescente, e simular a sequência de valores ano a ano até achar o par de anos em que ela cruza o valor 10.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Taxa de variação média: razão entre a variação total de uma grandeza e o intervalo de tempo em que essa variação ocorreu; aqui, quanto a taxa de óbitos caiu, em média, a cada ano.
• Progressão Aritmética (PA): sequência numérica em que cada termo é obtido somando (ou subtraindo) uma razão constante ao termo anterior; um decréscimo anual médio constante é exatamente uma PA de razão negativa.
• Leitura seletiva de gráfico: o gráfico traz três pontos (2000, 2009 e 2011), mas o enunciado pede que apenas o trecho de 2009 a 2011 seja usado para calcular a taxa — o ponto de 2000 serve só de contexto histórico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "gráfico ... evolução da taxa de mortalidade infantil ... no período de 2000 a 2011", com os pontos 30,1 (2000), 22,5 (2009) e 18,7 (2011) → fornece os dados numéricos brutos do problema.
• Evidência 2: "o decréscimo anual médio ... registrado no período de 2009 a 2011, será mantido" → instrui a calcular a razão da PA usando exclusivamente os valores de 2009 e 2011, e depois repeti-la para os anos seguintes.
• Evidência 3: "tornar-se-á inferior a 10 no período de" → a resposta não é um ano isolado, e sim o par de anos consecutivos entre os quais o valor cruza a marca de 10.
• Síntese: o caminho é (1) achar a queda anual média entre 2009 e 2011, (2) partir do último valor conhecido (18,7, em 2011) e subtrair essa razão ano após ano, (3) identificar o primeiro ano em que o resultado fica abaixo de 10 — o intervalo pedido é o ano anterior a esse até ele.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a taxa de decréscimo anual médio

Do gráfico: em 2009 a taxa era 22,5 óbitos por 1 000 nascidos vivos; em 2011, 18,7.

Queda total no período = 22,5 − 18,7 = 3,8, distribuída em 2011 − 2009 = 2 anos.

Taxa anual média = 3,8 ÷ 2 = 1,9 óbitos por 1 000 nascidos vivos, a cada ano.

Subpasso 4.2 — Projetar a sequência ano a ano a partir de 2011

Partindo de 18,7 (2011) e subtraindo 1,9 a cada ano (razão da PA decrescente):

• 2011: 18,7
• 2012: 18,7 − 1,9 = 16,8
• 2013: 16,8 − 1,9 = 14,9
• 2014: 14,9 − 1,9 = 13,0
• 2015: 13,0 − 1,9 = 11,1
• 2016: 11,1 − 1,9 = 9,2

Em 2015 a taxa ainda vale 11,1 (≥ 10); em 2016 ela já vale 9,2 (< 10). O cruzamento da marca 10 acontece, portanto, entre 2015 e 2016.

Subpasso 4.3 — Verificação com o termo geral da PA

Usando aₙ = a₁ + (n − 1)·r, com a₁ = 18,7 (2011, n = 1) e r = −1,9:

aₙ < 10 ⟹ 18,7 − 1,9(n − 1) < 10 ⟹ 1,9(n − 1) > 8,7 ⟹ n − 1 > 4,58 ⟹ n > 5,58 ⟹ n = 6.

n = 6 corresponde ao ano 2016 (2011 + 5), e é o primeiro termo abaixo de 10; o termo anterior, n = 5 (ano 2015), ainda vale 11,1 ≥ 10. Isso confirma algebricamente que o intervalo procurado é 2015 a 2016, batendo com a simulação do Subpasso 4.2 e com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2011 a 2012.

❌ Incorreta: nesse intervalo a taxa cai de 18,7 para 16,8 — ainda muito acima de 10. Quem marca essa opção provavelmente confunde "decréscimo anual" com o próprio ano seguinte ao último dado do gráfico, sem simular a sequência.

B) 2012 a 2013.

❌ Incorreta: a taxa cai de 16,8 para 14,9, permanecendo bem acima de 10. Erro típico de parar a projeção cedo demais, sem continuar somando a razão até o valor efetivamente cruzar o limite pedido.

C) 2013 a 2014.

❌ Incorreta: a taxa cai de 14,9 para 13,0, ainda acima de 10. Essa alternativa costuma atrair quem calcula uma taxa anual maior que a correta — por exemplo, usando a queda de 2000 a 2011 (30,1 para 18,7, dividida por 11 anos), o que antecipa erroneamente o momento do cruzamento.

D) 2015 a 2016.

✅ Correta: é exatamente o intervalo em que a sequência projetada passa de 11,1 (2015, ainda ≥ 10) para 9,2 (2016, já < 10), usando a taxa anual média correta de 1,9, calculada apenas com os dados de 2009 e 2011, conforme pede o enunciado.

E) 2017 a 2018.

❌ Incorreta: nesse intervalo a taxa já estaria bem abaixo de 10 (2017: 9,2 − 1,9 = 7,3; 2018: 7,3 − 1,9 = 5,4), ou seja, o cruzamento já teria ocorrido dois anos antes. Essa alternativa atrai quem usa uma taxa anual menor que a real (por exemplo, dividindo a queda de 2009 a 2011 por um número de anos maior que 2), retardando artificialmente a projeção.

🏆 Gabarito: D — a projeção da taxa de mortalidade, usando a razão real de 1,9 óbito/1000 nascidos vivos por ano calculada entre 2009 e 2011, mostra que o valor 10 é cruzado exatamente entre 2015 (11,1) e 2016 (9,2).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa compatível com a sequência 18,7 — 16,8 — 14,9 — 13,0 — 11,1 — 9,2, construída com a razão correta (−1,9) a partir do último ponto do gráfico (2011).
• Padrão de cobrança: o ENEM usa com frequência gráficos de séries temporais (mortalidade, desemprego, população, inflação) e pede que o aluno "mantenha a taxa/ritmo observado" para projetar valores futuros — isso é, na prática, uma Progressão Aritmética disfarçada de contexto socioeconômico.
• Generalização: sempre que o enunciado disser algo como "mantido o decréscimo/crescimento médio registrado entre X e Y", calcule a razão dividindo a variação total pelo número de intervalos de tempo entre X e Y, e projete essa razão a partir do ÚLTIMO dado conhecido da série — nunca do primeiro.
• Dica de eliminação rápida: monte mentalmente a sequência subtraindo (ou somando) a razão ano a ano; assim que o valor cruzar o limite pedido pela questão, o intervalo correspondente já é a resposta — não é preciso testar as demais alternativas uma a uma.
• Conexões: Progressão Aritmética (termo geral e razão); Função Afim (a taxa de variação é o coeficiente angular da reta que liga os pontos do gráfico); leitura crítica de indicadores sociais do IBGE.