Questão 178 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (Teorema da Probabilidade Total)
• ⚡ Nível: Médio — não basta saber que uma moeda honesta dá cara com probabilidade 1/2; é preciso combinar essa ideia com a chance de o apostador ter escolhido cada uma das cinco moedas diferentes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade em experimentos compostos (escolher + lançar), competência de tratamento da informação.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a chance de sair cara ao sortear 1 moeda entre 5 diferentes e lançá-la uma única vez?"
• Palavras-chave decisivas: ao acaso, cinco moedas diferentes, face superior
• Armadilha típica: enxergar só o lançamento (e responder 1/2, como se toda moeda fosse honesta) ou só a escolha da moeda (e responder 2/5, esquecendo que as moedas normais também podem dar cara).
• O que a resposta precisa demonstrar: a capacidade de tratar o problema em duas etapas — qual moeda é sorteada e, dado esse sorteio, qual é a chance de cara — e somar corretamente essas contribuições.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Espaço amostral do sorteio: são 5 moedas distintas e "ao acaso" significa que cada uma tem a mesma chance de ser escolhida, 1/5.
• Probabilidade condicional: é a chance de um evento (sair cara) dado que outro já ocorreu (uma moeda específica foi escolhida). Cada tipo de moeda tem sua própria probabilidade condicional de dar cara.
• Teorema da probabilidade total: quando um evento pode acontecer por vários "caminhos" que não se sobrepõem, a probabilidade total é a soma de P(caminho) × P(evento | caminho) para todos os caminhos.
• Regra de Laplace como atalho: como todas as 5 moedas têm 2 faces e o sorteio é uniforme, também é possível pensar em 10 faces igualmente prováveis e simplesmente contar quantas são "cara".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "duas delas têm 'cara' nas duas faces" → essas moedas sempre resultam em cara: P(cara | moeda desse tipo) = 1.
• Evidência 2: "uma delas tem 'coroa' nas duas faces" → essa moeda nunca resulta em cara: P(cara | moeda desse tipo) = 0.
• Evidência 3: "duas delas são normais (cara em uma face e coroa na outra)" → seguem o comportamento clássico: P(cara | moeda desse tipo) = 1/2.
• Síntese: o resultado final depende de qual das 5 moedas caiu na mão do apostador (1/5 de chance para cada), e cada uma "puxa" o resultado para um lado diferente. A resposta é a média ponderada dessas cinco chances condicionais.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os dados

Numerando as moedas de 1 a 5:

| Moeda | Tipo | P(escolher) | P(cara \| moeda) |

|---|---|---|---|

| 1 | cara-cara | 1/5 | 1 |

| 2 | cara-cara | 1/5 | 1 |

| 3 | coroa-coroa | 1/5 | 0 |

| 4 | normal | 1/5 | 1/2 |

| 5 | normal | 1/5 | 1/2 |

Subpasso 4.2 — Aplicar o teorema da probabilidade total

P(cara) = Σ P(escolher moeda ᵢ) × P(cara | moeda ᵢ)

P(cara) = 1/5×1 + 1/5×1 + 1/5×0 + 1/5×1/2 + 1/5×1/2

P(cara) = 1/5 + 1/5 + 0 + 1/10 + 1/10 = 2/5 + 2/10 = 2/5 + 1/5 = 3/5

Subpasso 4.3 — Verificação por contagem direta de faces

Como o sorteio é uniforme, cada uma das 10 faces (5 moedas × 2 faces) tem exatamente a mesma probabilidade de ficar voltada para cima: 1/5 × 1/2 = 1/10. Contando as faces "cara": moeda 1 dá 2, moeda 2 dá 2, moeda 3 dá 0, moeda 4 dá 1, moeda 5 dá 1 → total de 6 faces cara em 10 faces possíveis.

P(cara) = 6/10 = 3/5

Os dois caminhos — probabilidade total e contagem de casos favoráveis — convergem exatamente para o mesmo valor, confirmando o resultado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/8

❌ Incorreta: esse valor surge de confundir o experimento (escolher 1 moeda entre 5 e lançá-la uma única vez) com uma sequência de três lançamentos independentes de moeda honesta, calculando (1/2)³ = 1/8. Esse raciocínio ignora por completo o sorteio da moeda e trata erroneamente os "3 tipos de moeda" descritos no enunciado como se fossem "3 lançamentos sucessivos".

B) 2/5

❌ Incorreta: contabiliza corretamente a contribuição das duas moedas viciadas em cara (2 × 1/5 × 1 = 2/5), mas esquece de somar a contribuição das duas moedas normais, como se elas nunca pudessem resultar em cara. É o erro clássico de quem lembra só da "moeda que sempre ganha" e descarta o caso probabilístico intermediário.

C) 3/5

✅ Correta: é exatamente a soma das três contribuições — 2/5 das moedas cara-cara, 0 da moeda coroa-coroa e 1/5 das duas moedas normais — confirmada também pela contagem direta de 6 faces cara entre as 10 faces possíveis do experimento.

D) 3/4

❌ Incorreta: nasce de um erro sutil na contagem de faces, quando o estudante exclui indevidamente as duas faces da moeda coroa-coroa do total (pensando "essa moeda nunca dá cara, então não entra na conta"), chegando a 6 faces cara em apenas 8 faces "consideradas" = 3/4. O erro é esquecer que o denominador precisa representar TODO o espaço amostral do experimento, inclusive os resultados desfavoráveis.

E) 4/5

❌ Incorreta: resulta de tratar "poder dar cara" como sinônimo de "vai dar cara com certeza". Como 4 das 5 moedas (as duas cara-cara e as duas normais) são capazes de mostrar cara, o estudante conclui erradamente que a probabilidade é 4/5, ignorando que as moedas normais só cumprem essa possibilidade em metade dos lançamentos, não em todos.

🏆 Gabarito: C — o valor 3/5 é o único compatível com o teorema da probabilidade total e com a contagem direta de faces, os dois métodos usados para resolver a questão.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente C = 3/5 sobrevive a uma dupla checagem — via probabilidade total (somando as contribuições ponderadas de cada moeda) e via contagem de faces favoráveis (6 em 10) — o que torna o resultado robusto contra erros de conta isolados.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora disfarçar o Teorema da Probabilidade Total em contextos de jogos, urnas e sorteios com "grupos" de composição diferente (moedas viciadas, urnas com proporções distintas, dados adulterados), sempre exigindo que o candidato separe "escolher o grupo" de "observar o resultado dentro do grupo".
• Generalização: sempre que o enunciado descrever um sorteio em duas etapas — escolher um objeto/grupo e depois observar um resultado nele —, use P(evento) = Σ P(grupo) × P(evento | grupo); ou, quando possível, converta tudo para um único espaço amostral uniforme (aqui, as 10 faces) e conte casos favoráveis diretamente.
• Dica de eliminação rápida: como a moeda coroa-coroa nunca contribui para "cara", qualquer alternativa muito próxima de 1 (como 4/5) já é suspeita de superestimar o resultado; e como cada moeda "pesa" 1/5, a resposta deve nascer de frações com denominador 5 e 10 — isso descarta de cara valores como 1/8 ou 3/4.
• Conexões: a mesma estrutura de "árvore de probabilidades ponderada" aparece em problemas de urnas com bolas de composições diferentes e em questões de sensibilidade/especificidade de testes diagnósticos, sempre pedindo a mesma ideia central: ponderar cada cenário pela chance de ele ocorrer.