Questão 156 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (combinações simples) e Probabilidade
• ⚡ Nível: Médio — a fórmula de combinação é padrão, mas a pegadinha está em perceber que R$ 2,00 permite comprar mais de um cartão em alguns jogos
• 🎯 Tema/Habilidade: Comparação de probabilidades a partir do número de combinações possíveis (H24/H25 — cálculo de probabilidades e de contagem)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Com R$ 2,00 disponíveis, qual dos cinco jogos dá a maior chance de ganhar o prêmio?"
• Palavras-chave decisivas: R$ 2,00 para gastar, maior probabilidade, combinações possíveis (C)
• Armadilha típica: olhar só a coluna C e escolher direto o menor valor (jogo V, coincidentemente), sem perceber que em alguns jogos o valor de R$ 2,00 permite comprar dois cartões — e isso poderia, em tese, dobrar a chance de ganhar naquele jogo
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "quantos cartões cabem no orçamento" em "probabilidade efetiva de ganhar" (número de cartões comprados dividido pelo total de combinações), e não apenas comparar C isoladamente

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples $C_{N,K}$: conta de quantas formas se escolhe um subconjunto de K números distintos dentre N, sem importar a ordem: $C_{N,K} = \dfrac{N!}{K!\,(N-K)!}$. É exatamente o número de "apostas diferentes" possíveis em cada jogo.
• Probabilidade em espaço equiprovável: se um único cartão é marcado, a chance de acertar os K números sorteados é $P = \dfrac{1}{C}$, pois há C combinações igualmente prováveis e apenas uma é a vencedora.
• Múltiplos cartões independentes: se o apostador marca $n$ cartões diferentes no mesmo jogo, a probabilidade de pelo menos um deles ser o sorteado é $P = \dfrac{n}{C}$ (os eventos "cartão i é o sorteado" são mutuamente exclusivos, então as probabilidades se somam).
• Restrição orçamentária: o número de cartões que cabem no orçamento é $n = \left\lfloor \dfrac{2{,}00}{\text{valor do jogo}} \right\rfloor$ — a parte inteira da divisão, pois não se compra "meio cartão".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Um apostador dispõe de R$ 2,00 para gastar em uma das cinco opções de jogos disponíveis" → o orçamento é fixo em R$ 2,00 e deve ser aplicado integralmente em um único tipo de jogo — mas nada impede comprar mais de um cartão desse mesmo jogo, se o valor permitir.
• Evidência 2: a tabela traz, para cada jogo, o valor do cartão e o total de combinações C já calculado → o trabalho braçal de calcular $C_{N,K}$ está pronto; a questão testa a interpretação de como usar essas duas colunas juntas (valor × C), não o cálculo combinatório em si.
• Síntese: a probabilidade que realmente importa não é $1/C$ isolado, e sim $n/C$, em que $n$ é quantos cartões daquele jogo cabem em R$ 2,00. É preciso montar essa razão para os cinco jogos e comparar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Ler os dados da tabela

| Jogo | Valor (R$) | K | N | C (combinações) |

|---|---|---|---|---|

| I | 1,50 | 6 | 45 | 8 145 060 |

| II | 1,00 | 6 | 50 | 15 890 700 |

| III | 2,00 | 5 | 60 | 5 461 512 |

| IV | 1,00 | 6 | 60 | 50 063 860 |

| V | 2,00 | 5 | 50 | 2 118 760 |

Subpasso 4.2 — Determinar quantos cartões cabem em R$ 2,00 em cada jogo

$n = \left\lfloor \dfrac{2{,}00}{\text{valor}} \right\rfloor$

• Jogo I (R$ 1,50): $2{,}00 \div 1{,}50 \approx 1{,}33 \Rightarrow n = 1$ cartão (sobram R$ 0,50, insuficientes para outro).
• Jogo II (R$ 1,00): $2{,}00 \div 1{,}00 = 2 \Rightarrow n = 2$ cartões.
• Jogo III (R$ 2,00): $2{,}00 \div 2{,}00 = 1 \Rightarrow n = 1$ cartão.
• Jogo IV (R$ 1,00): $2{,}00 \div 1{,}00 = 2 \Rightarrow n = 2$ cartões.
• Jogo V (R$ 2,00): $2{,}00 \div 2{,}00 = 1 \Rightarrow n = 1$ cartão.

Subpasso 4.3 — Calcular a probabilidade efetiva $P = n/C$ (equivalente a comparar $C/n$: quanto menor, maior a chance)

• I: $\dfrac{C}{n} = \dfrac{8\,145\,060}{1} = 8\,145\,060$
• II: $\dfrac{C}{n} = \dfrac{15\,890\,700}{2} = 7\,945\,350$
• III: $\dfrac{C}{n} = \dfrac{5\,461\,512}{1} = 5\,461\,512$
• IV: $\dfrac{C}{n} = \dfrac{50\,063\,860}{2} = 25\,031\,930$
• V: $\dfrac{C}{n} = \dfrac{2\,118\,760}{1} = 2\,118\,760$

Quanto menor esse valor de "combinações por cartão comprável", maior é a probabilidade de ganhar. Ordenando do menor para o maior: V (2 118 760) < III (5 461 512) < II (7 945 350) < I (8 145 060) < IV (25 031 930).

Subpasso 4.4 — Verificação

O jogo V tem, isoladamente, o menor número de combinações possíveis da tabela inteira (2 118 760) e, além disso, seu preço (R$ 2,00) consome todo o orçamento em um único cartão — não há diluição nem desperdício de dinheiro. Mesmo os jogos II e IV, que permitem comprar 2 cartões, não superam o jogo V porque seus totais de combinações (15 890 700 e 50 063 860) são altos demais para que dobrar a quantidade de cartões compense. Logo, o jogo V oferece a maior probabilidade de prêmio, confirmando o resultado do Subpasso 4.3.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: o jogo I tem $C/n = 8\,145\,060$, o segundo pior resultado entre os cinco — além de ter C relativamente alto (8 145 060), seu preço de R$ 1,50 não permite comprar um segundo cartão com o troco de R$ 0,50, desperdiçando parte do orçamento sem ganho de chance.

B) II.

❌ Incorreta: apesar de permitir 2 cartões (o que melhora a razão para 7 945 350), o número de combinações de base (15 890 700) ainda é grande demais — o jogo II fica em terceiro lugar na comparação, atrás de III e de V.

C) III.

❌ Incorreta: o jogo III tem C = 5 461 512, valor competitivo, mas é maior que o de V (2 118 760); como ambos custam R$ 2,00 e permitem apenas 1 cartão, a comparação se reduz diretamente ao valor de C, e III perde para V.

D) IV.

❌ Incorreta: é a pior opção de todas — mesmo comprando 2 cartões com R$ 2,00, o total de combinações (50 063 860, o maior da tabela, decorrente de escolher 6 números entre 60) é tão elevado que a razão C/n = 25 031 930 fica muito acima de qualquer outro jogo.

E) V.

✅ Correta: o jogo V tem o menor número absoluto de combinações da tabela (2 118 760, resultado de escolher apenas 5 números entre 50) e consome o orçamento inteiro em um único cartão, sem sobra nem diluição. Isso o torna, de fato, o jogo com a maior probabilidade de o apostador ser premiado.

🏆 Gabarito: E — o jogo V minimiza a razão "combinações possíveis por real gasto", sendo, portanto, a opção de maior probabilidade de prêmio dentro do orçamento de R$ 2,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre os cinco jogos, V é o único que combina baixo número de combinações (2 118 760) com aproveitamento total do orçamento em um único cartão, resultando na menor razão C/n e, portanto, na maior probabilidade de ganho.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar Análise Combinatória com interpretação de tabelas e restrição orçamentária, testando se o aluno entende que "probabilidade de ganhar" depende de quantas apostas se pode fazer, não só do tamanho do universo de combinações.
• Generalização: sempre que o enunciado permitir comprar mais de um "bilhete", a probabilidade correta é $\dfrac{\text{número de bilhetes comprados}}{\text{total de combinações}}$, e a comparação entre opções deve ser feita por essa razão — nunca só pelo denominador C isolado.
• Dica de eliminação rápida: primeiro descarte os jogos cujo valor consome mal o orçamento (como o jogo I, que desperdiça R$ 0,50); depois, entre os que sobram, calcule C dividido pelo número de cartões possíveis e escolha o menor resultado — é sempre mais rápido que recalcular fatoriais na mão, já que a tabela fornece C pronto.
• Conexões: essa questão dialoga com problemas de loteria e jogos de azar (Mega-Sena, Quina) e com o conceito de espaço amostral equiprovável, temas recorrentes em Probabilidade no ENEM.