Questão 174 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem e arranjo com repetição)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está em calcular potências, mas em perceber que é preciso combinar corretamente o princípio multiplicativo (dentro de cada tamanho de senha) com o princípio aditivo (entre os três tamanhos possíveis).
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de possibilidades com repetição permitida, exigindo distinguir quando somar e quando multiplicar casos em um problema de combinatória.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual expressão matemática soma corretamente todas as senhas possíveis, sabendo que cada senha tem 3, 4 OU 5 toques, escolhidos livremente entre 4 regiões da tela?"
• Palavras-chave decisivas: livremente, 3, 4 ou 5 toques, total de códigos
• Armadilha típica: multiplicar as três potências (4⁵ × 4⁴ × 4³) por associar "mais opções" a "multiplicar tudo", ou considerar apenas um comprimento fixo de senha (por exemplo, só 5 toques), esquecendo que 3 e 4 toques também são válidos.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de reconhecer que existem três grupos de senhas mutuamente exclusivos — definidos pelo número de toques — e que o total geral é a soma desses grupos, cada um calculado por uma potência de 4.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (multiplicativo): se uma escolha é feita em k etapas sucessivas e independentes, cada uma com n possibilidades, o número total de sequências é n × n × ... × n (k vezes) = nᵏ.
• Arranjo com repetição: quando os elementos de uma sequência podem se repetir, o total de sequências ordenadas de tamanho p, escolhidas entre n elementos, é nᵖ. Aqui, n = 4 (regiões) e p = quantidade de toques.
• Princípio Aditivo: quando um evento pode acontecer de formas mutuamente exclusivas — "ou isto, ou aquilo, nunca os dois ao mesmo tempo" — o total geral é a soma das contagens de cada alternativa, e não o produto.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões" → cada toque, isoladamente, tem exatamente 4 opções, e nada proíbe repetir uma região já usada (diferente do padrão real do Android, que veda repetição de nó — o enunciado simplifica isso).
• Evidência 2: "o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo" → o comprimento da senha não é único: existem três categorias de senha, e uma senha específica pertence a exatamente uma delas — nunca a duas simultaneamente.
• Síntese: dentro de cada comprimento fixo, o total de senhas é uma potência de 4 (princípio multiplicativo, com repetição). Como os três comprimentos são categorias que se excluem mutuamente, o total geral de códigos é a soma das três potências (princípio aditivo).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar as senhas de exatamente 3 toques

Cada um dos 3 toques pode ser qualquer uma das 4 regiões, livremente. Toque 1: 4 opções × Toque 2: 4 opções × Toque 3: 4 opções = 4 × 4 × 4 = 4³ senhas possíveis de 3 toques.

Subpasso 4.2 — Repetir o raciocínio para 4 e para 5 toques

Senhas de 4 toques: 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴ possibilidades. Senhas de 5 toques: 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ possibilidades. O raciocínio é idêntico ao do subpasso anterior — muda apenas quantas vezes o fator 4 é multiplicado.

Subpasso 4.3 — Somar os três grupos, que são mutuamente exclusivos

Uma senha real tem um único comprimento definido: ou tem 3 toques, ou 4, ou 5 — nunca mais de um simultaneamente. Por isso o total geral é a soma dos três grupos, não o produto entre eles: Total = 4³ + 4⁴ + 4⁵, o mesmo que 4⁵ + 4⁴ + 4³ em ordem decrescente.

Subpasso 4.4 — Verificação

4³ = 64, 4⁴ = 256, 4⁵ = 1.024. Total = 64 + 256 + 1.024 = 1.344 códigos possíveis — valor coerente com a expressão que soma as três potências, exatamente a estrutura de 4⁵ + 4⁴ + 4³.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4⁵ − 4⁴ − 4³

❌ Incorreta: usa subtração entre grupos que não se sobrepõem. Subtrair só faria sentido para remover uma interseção entre conjuntos, mas senhas de 3, 4 e 5 toques são disjuntas. Numericamente daria 1.024 − 256 − 64 = 704, valor sem correspondência com o problema.

B) 4⁵ + 4⁴ + 4³

✅ Correta: soma os três grupos disjuntos de senhas (3, 4 e 5 toques), cada um calculado por arranjo com repetição (4^toques), aplicando o princípio aditivo sobre resultados obtidos pelo princípio multiplicativo.

C) 4⁵ × 4⁴ × 4³

❌ Incorreta: multiplicar os três grupos equivaleria a escolher, na mesma senha, uma sequência de 3 toques E uma de 4 E uma de 5 simultaneamente, o que não é o caso. O valor resultante (1.024 × 256 × 64 = 16.777.216) é absurdamente maior que o total real de códigos.

D) (4!)⁵

❌ Incorreta: 4! = 24 representa as permutações de 4 elementos distintos usados exatamente uma vez cada (sem repetição), o que não corresponde ao problema, já que os toques podem repetir região. Além disso, elevar à quinta potência fixa erroneamente o comprimento da senha em 5, ignorando as opções de 3 e 4 toques.

E) 4⁵

❌ Incorreta: conta apenas as senhas com exatamente 5 toques, tratando como se esse fosse o único comprimento válido — é uma das três parcelas corretas, não o total pedido.

🏆 Gabarito: B — a expressão 4⁵ + 4⁴ + 4³ é a única que respeita simultaneamente o princípio multiplicativo (dentro de cada comprimento de senha, com repetição permitida) e o princípio aditivo (entre os três comprimentos possíveis, que são mutuamente exclusivos).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa que soma corretamente as três quantidades de senhas possíveis (uma para cada comprimento), cada uma calculada como potência de 4 pelo princípio multiplicativo.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar contagens em que a "categoria" do objeto contado varia (aqui, o número de toques), testando se o candidato sabe quando somar casos exclusivos e quando multiplicar etapas de uma mesma escolha.
• Generalização: se o enunciado disser "pode ser A, B ou C" para soluções que não ocorrem ao mesmo tempo, SOME os casos; se disser "e depois, e depois" para etapas sucessivas de uma mesma decisão, MULTIPLIQUE.
• Dica de eliminação rápida: identifique o operador de cada alternativa antes de calcular. "Ou" no enunciado ("3, 4 ou 5 toques") sinaliza soma, eliminando a alternativa com "×" (C); como não há interseção entre as categorias, elimina-se também a de "−" (A). Restam B e E — e E resolve o problema só para 5 toques, esquecendo 3 e 4.
• Conexões: Arranjos e Permutações (com e sem repetição), Probabilidade (chance de acertar uma senha em uma tentativa aleatória), Progressões Geométricas (4³, 4⁴, 4⁵ formam uma PG de razão 4).