Questão 162 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Regra de três composta (grandezas direta e inversamente proporcionais)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar quatro grandezas ao mesmo tempo e identificar corretamente o sentido de proporcionalidade de cada uma
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade múltipla e resolução de problemas do cotidiano com regra de três composta
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas máquinas do modelo novo substituem as 20 antigas para colher a mesma safra em 100 dias, sabendo que cada máquina nova roda mais horas por dia e colhe mais rápido?"
• Palavras-chave decisivas: 120 dias → 100 dias, 10 h/dia → 12 h/dia, 2 ha/h → 4 ha/h
• Armadilha típica: achar que, por serem "melhores" (mais rápidas e que trabalham mais horas), as máquinas novas exigiriam um número maior de unidades — invertendo o sentido da proporcionalidade de uma ou mais grandezas.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar uma regra de três composta com quatro grandezas (máquinas, horas/dia, hectares/hora, dias), reconhecendo que a área total da safra é fixa e serve de elo entre os dois cenários.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área total como produto constante: em problemas de "trabalho combinado", a área total colhida é sempre igual a nº de máquinas × horas por dia × taxa de colheita (ha/h) × número de dias. Como a lavoura é a mesma, esse produto tem de valer o mesmo nos dois cenários.
• Proporcionalidade inversa entre variáveis: se o produto das quatro grandezas é constante, então o número de máquinas é inversamente proporcional a cada uma das outras três — aumentar horas trabalhadas, velocidade de colheita ou dias disponíveis permite usar menos máquinas, não mais.
• Atalho das horas totais trabalhadas: repare que 10 h × 120 dias = 1200 h e 12 h × 100 dias = 1200 h. Cada máquina, na prática, ficará ligada pelo mesmo total de 1200 horas em ambos os planos — isso elimina duas variáveis de uma vez e simplifica a comparação para apenas a taxa de colheita.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "20 máquinas... 10 horas por dia... colhem 2 hectares por hora... concluída em 120 dias" → fornece todos os dados para calcular a área total da safra.
• Evidência 2: "máquinas de um novo modelo, que operam 12 horas por dia e colhem 4 hectares por hora... em 100 dias" → define o segundo cenário, com três das quatro grandezas conhecidas e o número de máquinas (x) como incógnita.
• Síntese: como a safra (área) não muda, basta igualar os dois produtos "máquinas × horas/dia × taxa × dias" e isolar x. É uma regra de três composta clássica, com a vantagem de que o "tamanho da lavoura" funciona como ponte entre as duas situações.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a área total da safra com os dados do modelo antigo

Área total = nº de máquinas × horas/dia × taxa (ha/h) × dias

Área total = 20 × 10 × 2 × 120

20 × 10 = 200 → 200 × 2 = 400 → 400 × 120 = 48 000 hectares

Esse é o tamanho fixo da lavoura — o dado que conecta os dois cenários.

Subpasso 4.2 — Montar a equação para o modelo novo e isolar x

Seja x o número de máquinas novas necessárias. Como a área a colher continua sendo 48 000 ha:

x × 12 × 4 × 100 = 48 000

x × 4800 = 48 000

x = 48 000 ÷ 4800 = 10

Atalho equivalente (mais rápido em prova): como 10 h × 120 dias = 1200 h = 12 h × 100 dias, cada máquina trabalha o mesmo total de horas nos dois planos. Logo, o único fator que resta comparar é a taxa de colheita:

20 × (2 ha/h) = x × (4 ha/h) → x = 20 × 2 ÷ 4 = 10

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo x = 10 na equação do novo cenário: 10 × 12 × 4 × 100 = 10 × 4800 = 48 000 ha ✓

O valor bate exatamente com a área calculada no Subpasso 4.1, confirmando que 10 máquinas novas dão conta da colheita em 100 dias.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 7

❌ Incorreta: surge ao inverter o sentido da proporcionalidade da grandeza "dias", usando 100/120 em vez de 120/100 — como se um prazo menor exigisse menos máquinas. Refazendo o cálculo com essa inversão: 20 × (10/12) × (2/4) × (100/120) ≈ 6,94, que se arredonda para 7. Na prática, um prazo mais curto para a mesma tarefa exige mais unidades trabalhando, não menos.

B) 10

✅ Correta: aplicando corretamente a regra de três composta (ou o atalho das 1200 horas), a área total de 48 000 ha é colhida por exatamente 10 máquinas novas em 100 dias, trabalhando 12 h/dia a 4 ha/h.

C) 15

❌ Incorreta: resulta de inverter apenas a proporcionalidade da grandeza "horas por dia" — tratando o fato de a máquina nova rodar mais horas (12 contra 10) como se isso exigisse mais unidades, quando na verdade trabalhar mais horas por dia permite usar menos máquinas. Cálculo com esse erro: 20 × (12/10) × (2/4) × (120/100) = 14,4, arredondado para cima (não há máquina fracionária) para 15.

D) 40

❌ Incorreta: resulta de inverter apenas a proporcionalidade da taxa de colheita — supondo que uma máquina mais rápida (4 ha/h contra 2 ha/h) precisaria de reforço na frota, quando na verdade colher mais rápido permite reduzir o número de máquinas. Cálculo: 20 × (10/12) × (4/2) × (120/100) = 40 exatamente.

E) 58

❌ Incorreta: combina os dois erros anteriores (inverte simultaneamente horas por dia e taxa de colheita), mantendo apenas o fator "dias" correto. Cálculo: 20 × (12/10) × (4/2) × (120/100) = 57,6, arredondado para 58. É o resultado de ignorar por completo que "máquina mais eficiente" (mais rápida e que roda mais horas) significa precisar de menos unidades, e não mais.

🏆 Gabarito: B — a área total da safra (48 000 ha) dividida pela capacidade de cada máquina nova ao longo dos 100 dias (12 h/dia × 4 ha/h × 100 dias = 4800 ha) resulta em exatamente 10 máquinas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra B preserva corretamente o sentido inverso de proporcionalidade entre número de máquinas e as três grandezas "horas/dia", "taxa de colheita" e "dias disponíveis" — todas as demais alternativas nascem de inverter esse sentido em uma ou duas dessas grandezas.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma trazer regra de três composta disfarçada de problema de produtividade (obras, colheitas, produção industrial), quase sempre testando se o aluno sabe distinguir quando uma grandeza é diretamente e quando é inversamente proporcional à incógnita.
• Generalização: sempre que "mais recursos por unidade" (mais horas, mais velocidade, mais potência) aparecer, pergunte-se: "isso aumenta ou diminui a necessidade de mais unidades para o mesmo resultado?" Recursos que aumentam o rendimento por unidade sempre reduzem o número de unidades necessárias, mantendo o produto total constante.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a área/trabalho total do cenário conhecido (aqui, 48 000 ha); qualquer alternativa cujo produto (x × horas × taxa × dias) não bater com esse valor pode ser descartada em segundos — é exatamente o teste feito no Subpasso 4.3.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "torneiras enchendo piscina", "operários construindo um muro" e "impressoras imprimindo documentos" — todos são casos de regra de três composta com produto de grandezas constante.