Questão 147 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (leitura e interpretação de gráfico)
• ⚡ Nível: Fácil — basta ler dois pontos do gráfico, montar a lei de formação da função afim e calcular um valor.
• 🎯 Tema/Habilidade: Função polinomial do 1º grau aplicada a uma situação de consumo (taxa fixa + parte variável); competência de modelar matematicamente um problema real (H25/H26 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir do gráfico da fatura de água (função afim), descubra o valor a pagar quando o consumo, que era 7 m³, dobra para 14 m³."
• Palavras-chave decisivas: taxa fixa, semirreta, dobrou
• Armadilha típica: achar que o valor da fatura também dobra (17,00 → 42,20 → 84,40, caindo na alternativa B). Isso ignora que só o consumo dobra — a taxa fixa permanece a mesma, então a fatura não é diretamente proporcional ao volume.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar coeficiente linear (taxa fixa) e coeficiente angular (preço por m³) a partir do gráfico e aplicá-los corretamente ao novo volume.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (1º grau): toda função da forma f(x) = ax + b, cujo gráfico é uma reta (aqui, uma semirreta, pois o volume x não pode ser negativo). O coeficiente a é a taxa de variação (inclinação) e b é o valor quando x = 0.
• Coeficiente linear (b): valor da função em x = 0. No contexto da fatura, é a taxa fixa, cobrada independentemente do consumo — corresponde ao ponto onde a semirreta "nasce" no eixo vertical.
• Coeficiente angular (a): taxa de variação da fatura por m³ consumido, calculada por a = (variação de y)/(variação de x) entre dois pontos conhecidos da reta.
• Proporcionalidade x afinidade: numa função afim com b ≠ 0, o valor de f(x) não é proporcional a x (dobrar x não dobra f(x)) — só funções lineares (b = 0) têm essa propriedade.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (gráfico): a semirreta cruza o eixo vertical em 17,00 → esse é o coeficiente linear b, ou seja, a taxa fixa da fatura, cobrada mesmo com consumo zero.
• Evidência 2 (gráfico): o ponto (7; 42,20) está marcado sobre a reta → fornece um segundo par (x, y) para calcular o coeficiente angular a.
• Evidência 3 (texto): "em dezembro, o consumo de água [...] dobrou em relação ao mês anterior" → o novo volume é 2 × 7 = 14 m³, e é esse valor que deve ser substituído na função, não o valor da fatura.
• Síntese: com b = 17,00 e o ponto (7; 42,20), calculamos a inclinação a; montamos f(x) = ax + 17,00 e avaliamos f(14) para obter a fatura de dezembro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o coeficiente linear (taxa fixa)

No gráfico, a semirreta começa em x = 0 com y = 17,00. Como a função é afim, f(x) = ax + b, temos diretamente:

b = 17,00

Subpasso 4.2 — Calcular o coeficiente angular (preço por m³)

Usamos o segundo ponto marcado no gráfico, (7; 42,20), e o ponto inicial (0; 17,00):

a = (42,20 − 17,00) ÷ (7 − 0) = 25,20 ÷ 7 = 3,60

Ou seja, cada m³ consumido custa R$ 3,60. A lei da função fica:

f(x) = 3,60x + 17,00

Subpasso 4.3 — Verificação e cálculo para dezembro

Verificação: f(7) = 3,60 × 7 + 17,00 = 25,20 + 17,00 = 42,20 ✓ (bate com o gráfico).

Em dezembro, o consumo dobrou: x = 2 × 7 = 14 m³. Substituindo:

f(14) = 3,60 × 14 + 17,00 = 50,40 + 17,00 = 67,40

O valor da fatura de dezembro é R$ 67,40, que está entre R$ 65,00 e R$ 70,00.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00.

✅ Correta: o cálculo direto da função afim mostra que f(14) = R$ 67,40, valor que está estritamente entre R$ 65,00 e R$ 70,00.

B) superior a R$ 80,00 e inferior a R$ 85,00.

❌ Incorreta: corresponde ao erro de dobrar diretamente o valor da fatura de novembro (2 × 42,20 = 84,40), tratando a função como proporcional (linear pura) e ignorando que a taxa fixa de R$ 17,00 não se duplica.

C) superior a R$ 90,00 e inferior a R$ 95,00.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma manipulação coerente dos dados do gráfico; superestima o valor da fatura, possivelmente combinando erros de leitura do coeficiente angular com a duplicação indevida da parte fixa.

D) superior a R$ 95,00.

❌ Incorreta: valor muito acima do resultado real; ignora completamente que apenas a parcela variável (proporcional ao consumo) cresce, enquanto a taxa fixa permanece constante em R$ 17,00.

E) inferior a R$ 55,00.

❌ Incorreta: subestima a fatura; esse valor seria compatível, por exemplo, com um consumo de 14 m³ usando apenas a taxa fixa somada a uma tarifa mais baixa do que a real (3,60/m³), ou com erro no cálculo do coeficiente angular.

🏆 Gabarito: A — a fatura de dezembro, calculada por f(14) = 3,60 × 14 + 17,00 = R$ 67,40, está entre R$ 65,00 e R$ 70,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A contempla o valor exato de R$ 67,40 obtido pela lei da função afim extraída corretamente do gráfico.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente apresenta situações de tarifas (água, luz, táxi, telefonia) como funções afins representadas graficamente, exigindo que o aluno leia o coeficiente linear (intercepto) e calcule o angular (inclinação) a partir de dois pontos.
• Generalização: sempre que uma grandeza tiver uma "taxa fixa mais uma parte variável", modele-a como f(x) = ax + b; nunca aplique proporcionalidade direta (regra de três simples) quando b ≠ 0 — isso só vale para funções lineares que passam pela origem.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente o "teto" de duplicar a fatura toda (2 × 42,20 = 84,40): esse valor é sempre um limite superior errado quando existe taxa fixa, pois a fatura real cresce menos que o dobro. Isso já descarta B, C e D de imediato, restando decidir entre A e E com o cálculo exato.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de planos de celular com franquia + excedente e em problemas de tabela de preços com "taxa de entrega fixa + valor por item".