Questão 164 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (Parábola): forma geral, forma canônica (vértice) e resolução de sistemas
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir o texto em pontos e no vértice da parábola e resolver um sistema simples com a forma canônica; o raciocínio é direto, mas errar a interpretação do "mês 1" muda toda a conta
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos do cotidiano por função quadrática a partir de dados verbais (competência de área 5 da Matriz do ENEM: construir noções de variação de grandezas para interpretação de fenômenos)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que os gastos mensais seguem uma parábola T(x), com T(1) = 72, máximo em x = 8 e T(12) = 105, qual é a lei de T(x)?"
• Palavras-chave decisivas: maior gasto mensal (define o vértice como máximo), mês 1 (define o primeiro ponto), mês 12 (define o segundo ponto)
• Armadilha típica: confundir "mês 1 = janeiro" com x = 0. Essa troca desloca toda a parábola e é exatamente o erro que gera duas das alternativas erradas.
• O que a resposta precisa demonstrar: habilidade de traduzir uma situação real em pontos (x, y) de um gráfico, reconhecer que "maior gasto" corresponde a um vértice de máximo (concavidade para baixo) e montar/resolver corretamente o sistema que define a, b e c.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Forma canônica (do vértice): qualquer parábola y = ax² + bx + c pode ser reescrita como y = a(x − x_v)² + y_v, em que (x_v, y_v) é o vértice. Ela é a ferramenta ideal quando já se conhece a posição do vértice.
• Concavidade e tipo de extremo: se a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é um ponto de MÁXIMO; se a > 0, a concavidade é para cima e o vértice é um ponto de MÍNIMO.
• Sistema com duas incógnitas: conhecendo x_v, restam apenas "a" e y_v como incógnitas. Dois pontos adicionais da curva (aqui, mês 1 e mês 12) bastam para montar e resolver um sistema linear simples.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "72 mil reais no mês de janeiro (mês 1)" → o ponto (1, 72) pertence à parábola, ou seja, T(1) = 72.
• Evidência 2: "o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8)" → o vértice da parábola está em x = 8 e, por ser um MÁXIMO, a concavidade é voltada para baixo (a < 0). Essa única frase já descarta qualquer alternativa com coeficiente líder positivo.
• Evidência 3: "a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12)" → o ponto (12, 105) também pertence à parábola, T(12) = 105.
• Síntese: com o vértice em x = 8 (máximo) e dois pontos conhecidos, (1, 72) e (12, 105), a forma canônica T(x) = a(x − 8)² + k permite montar um sistema de duas equações e duas incógnitas (a e k) e chegar à lei completa da função.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a forma canônica com o vértice conhecido

Como o vértice está em x = 8:

T(x) = a·(x − 8)² + k, com a < 0 (concavidade para baixo, pois é máximo).

Substituindo os dois pontos conhecidos:

• T(1) = 72 → a·(1 − 8)² + k = 72 → 49a + k = 72 (I)
• T(12) = 105 → a·(12 − 8)² + k = 105 → 16a + k = 105 (II)

Subpasso 4.2 — Resolver o sistema

Subtraindo (II) de (I):

49a + k − (16a + k) = 72 − 105

33a = −33

a = −1

Substituindo em (II):

16·(−1) + k = 105 → k = 105 + 16 = 121

Logo: T(x) = −(x − 8)² + 121

Subpasso 4.3 — Expandir e Verificar

Desenvolvendo o quadrado:

−(x − 8)² = −(x² − 16x + 64) = −x² + 16x − 64

T(x) = −x² + 16x − 64 + 121 = −x² + 16x + 57

Verificação com os três dados do enunciado:

• T(1) = −1 + 16 + 57 = 72 ✓
• T(8) = −64 + 128 + 57 = 121 (máximo do gráfico, coerente com "maior gasto em agosto") ✓
• T(12) = −144 + 192 + 57 = 105 ✓

A expressão T(x) = −x² + 16x + 57 corresponde exatamente à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) T(x) = −x² + 16x + 57

✅ Correta: é a única lei que satisfaz simultaneamente T(1) = 72, T(12) = 105 e possui vértice de máximo em x = 8 (a = −1 < 0, x_v = −16/(2·(−1)) = 8, T(8) = 121), exatamente como calculado no Passo 4.

B) T(x) = −11/16 x² + 11x + 72

❌ Incorreta: erro de tratar "mês 1" como x = 0, usando T(0) = 72 em vez de T(1) = 72. O vértice até cai corretamente em x = 8 (concavidade para baixo), mas ao resolver o sistema com o ponto errado (0, 72) — em vez de (1, 72) — obtém-se a = −11/16 e k = 116, produzindo coeficientes que não correspondem à leitura correta do enunciado.

C) T(x) = 3/5 x² − 24/5 x + 381/5

❌ Incorreta: o coeficiente líder é positivo (a = 3/5 > 0), o que faz a parábola ter concavidade para cima — ou seja, o vértice seria um ponto de MÍNIMO, contrariando diretamente o enunciado, que afirma que agosto foi o mês de MAIOR (máximo) gasto. Além disso, o vértice dessa função está em x = 4, não em x = 8.

D) T(x) = −x² − 16x + 87

❌ Incorreta: erro de sinal na expansão do quadrado da diferença — ao desenvolver −(x − 8)², um deslize algébrico trocou o sinal do termo linear (ficou −16x em vez de +16x), deslocando o vértice para x = −16/(2·(−1)) = −8, fora de qualquer mês do ano, e invalidando a condição de que o máximo ocorre em agosto (x = 8).

E) T(x) = 11/16 x² − 11/2 x + 72

❌ Incorreta: acumula dois erros — trata "mês 1" como x = 0 (mesmo problema da alternativa B) e ainda apresenta coeficiente líder positivo (a = 11/16 > 0), o que faz o vértice ser um MÍNIMO em x = 4, e não um MÁXIMO em x = 8, como exige o enunciado.

🏆 Gabarito: A — T(x) = −x² + 16x + 57 é a única expressão que satisfaz simultaneamente T(1) = 72, T(12) = 105 e tem vértice de máximo em x = 8, com T(8) = 121.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única que passa pelos dois pontos fornecidos no texto — (1, 72) e (12, 105) — e ainda tem vértice de máximo exatamente em x = 8, as três condições exigidas pelo enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente pede a modelagem de fenômenos reais (gastos, lucro, trajetória, altura de um objeto) por função quadrática, fornecendo o ponto de máximo/mínimo e um ou dois pontos adicionais da curva em vez de dar diretamente os coeficientes a, b e c.
• Generalização: sempre que o enunciado indicar a posição do vértice (máximo ou mínimo) e um ou dois pontos da curva, prefira a forma canônica y = a(x − x_v)² + y_v — ela reduz o problema a duas incógnitas (a e y_v) e evita montar um sistema 3×3 com a forma geral y = ax² + bx + c.
• Dica de eliminação rápida: primeiro observe o tipo de extremo descrito no texto (máximo → a deve ser negativo; mínimo → a deve ser positivo) e descarte de cara as alternativas com sinal de "a" contrário — aqui, C e E somem em segundos. Em seguida, teste um ponto simples (como x = 1) nas alternativas restantes para eliminar as demais.
• Conexões: interpretação gráfica de funções quadráticas, problemas de otimização (área máxima, lucro máximo, tempo de voo de um projétil) e conversão entre forma geral e forma canônica da parábola.