Questão 143 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas diretamente e inversamente proporcionais (em contexto de Física — Lei da Gravitação Universal)
• ⚡ Nível: Médio — não basta montar uma proporção simples: é preciso combinar, na mesma expressão, uma proporcionalidade direta (massa) com uma inversa ao quadrado (raio)
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade composta aplicada a uma situação-problema de Física; resolver problemas que envolvem grandezas diretamente e inversamente proporcionais (competência de área da Matemática e suas Tecnologias)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que o peso é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado do raio, calcule o peso de um objeto em Mercúrio, dado seu peso P na Terra."
• Palavras-chave decisivas: diretamente proporcional à massa, inversamente proporcional ao quadrado do raio, peso P na Terra
• Armadilha típica: esquecer de elevar o raio ao quadrado (usar a razão dos raios "pura"), ou aplicar apenas um dos dois fatores (só a massa ou só o raio), ignorando que o problema pede uma proporcionalidade composta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um enunciado verbal em uma equação de proporcionalidade P = k·M/R² e de operar corretamente com frações ao substituir os dados de Mercúrio.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Grandeza diretamente proporcional: quando uma grandeza cresce, a outra cresce na mesma razão. Aqui, quanto maior a massa do planeta, maior o peso do objeto em sua superfície.
• Grandeza inversamente proporcional (com expoente): quando uma grandeza cresce, a outra diminui — e, como a dependência é com o quadrado do raio, dobrar o raio faz o peso cair para 1/4, não para 1/2.
• Proporcionalidade composta: ocorre quando uma grandeza depende simultaneamente de mais de uma outra, cada uma com seu próprio tipo de proporcionalidade (direta ou inversa). A forma matemática é P = k · M/R², com k constante.
• Eliminação da constante por divisão: ao escrever a relação para dois planetas e dividir uma equação pela outra, a constante k desaparece, restando apenas uma razão entre grandezas conhecidas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o peso de um objeto [...] é diretamente proporcional à massa do planeta" → define P ∝ M.
• Evidência 2: "e inversamente proporcional ao quadrado do raio desse planeta" → define P ∝ 1/R².
• Evidência 3 (dados numéricos do enunciado): a massa de Mercúrio é, aproximadamente, 1/20 da massa da Terra, e o raio de Mercúrio é, aproximadamente, 2/5 do raio da Terra.
• Síntese: Basta escrever P = k·M/R² para a Terra e para Mercúrio, dividir as duas expressões para cancelar k e substituir as razões M_Mercúrio/M_Terra = 1/20 e R_Mercúrio/R_Terra = 2/5.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir o enunciado em fórmula

"Diretamente proporcional à massa e inversamente proporcional ao quadrado do raio" se escreve como:

P = k · M/R²

k é a mesma constante para qualquer planeta (vem da própria lei, que é universal). Aplicando a planetas distintos:

• Terra: P_Terra = k · M_Terra/R_Terra² = P
• Mercúrio: P_Mercúrio = k · M_Mercúrio/R_Mercúrio²

Subpasso 4.2 — Dividir as equações para eliminar k

Dividindo P_Mercúrio por P_Terra, k é cancelado e sobra apenas uma razão entre grandezas conhecidas:

P_Mercúrio / P = (M_Mercúrio/M_Terra) ÷ (R_Mercúrio/R_Terra)²

Substituindo os dados do enunciado — M_Mercúrio/M_Terra = 1/20 e R_Mercúrio/R_Terra = 2/5:

P_Mercúrio / P = (1/20) ÷ (2/5)²

Primeiro eleva-se o raio ao quadrado (o passo que mais gera erro): (2/5)² = 4/25. Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo seu inverso:

P_Mercúrio / P = (1/20) × (25/4) = 25/80

Subpasso 4.3 — Simplificar e verificar

Simplificando 25/80 por 5: 25/80 = 5/16, logo P_Mercúrio = 5P/16.

Conferindo contra as alternativas, 5P/16 aparece exatamente na letra A. O resultado é coerente com a intuição física: Mercúrio tem muito menos massa (1/20), mas seu raio também é bem menor (2/5) — os dois efeitos competem, e o saldo é um peso pouco menor que 1/3 do peso na Terra (5/16 = 0,3125), próximo da gravidade real de Mercúrio (≈ 38% da terrestre).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5P/16

✅ Correta: é exatamente o resultado de P_Mercúrio = (M_Mercúrio/M_Terra) ÷ (R_Mercúrio/R_Terra)² × P = (1/20) ÷ (4/25) × P = 5P/16, aplicando corretamente a proporcionalidade direta na massa e a inversa ao quadrado no raio.

B) 5P/2

❌ Incorreta: erro duplo — ignora o fator da massa (como se fosse igual ao da Terra) e ainda não eleva o raio ao quadrado, calculando só o inverso da razão dos raios: 1 ÷ (2/5) = 5/2. Trata o peso como dependente apenas do raio, e de forma linear.

C) 25P/4

❌ Incorreta: ignora o fator da massa (como se fosse igual ao da Terra) e considera apenas o inverso do quadrado do raio: 1 ÷ (2/5)² = 25/4. Esquece que o peso também depende diretamente da massa do planeta.

D) P/8

❌ Incorreta: a armadilha mais comum — usa corretamente a razão das massas (1/20), mas esquece de elevar a razão dos raios ao quadrado: (1/20) ÷ (2/5) = 1/8. Trata uma grandeza inversamente proporcional ao quadrado como se fosse inversamente proporcional de forma simples.

E) P/20

❌ Incorreta: ignora completamente o efeito do raio, como se o peso dependesse só da massa. Aplica apenas a razão das massas (1/20) e esquece o termo 1/R², indispensável no enunciado.

🏆 Gabarito: A — P_Mercúrio = 5P/16 é o único valor que combina corretamente a proporcionalidade direta com a massa (fator 1/20) e a proporcionalidade inversa com o quadrado do raio (fator (2/5)² = 4/25), como exige o texto da Lei da Gravitação Universal descrita no enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A aplica simultaneamente as duas proporcionalidades exigidas — direta na massa e inversa no quadrado do raio; usar só uma delas, ou esquecer o expoente 2, leva a uma das demais alternativas, todas construídas como "pegadinhas" desses erros específicos.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra proporcionalidade composta disfarçada de contexto de Física, Geografia ou Biologia (leis físicas, escalas de mapas, densidade populacional). A resolução é sempre a mesma: escrever G = k·X/Yⁿ, aplicá-la a duas situações e dividir para cancelar k.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "diretamente proporcional a X e inversamente proporcional ao quadrado (ou cubo) de Y", escreva logo G = k·X/Yⁿ e trabalhe por razão entre duas situações, eliminando a necessidade de conhecer k.
• Dica de eliminação rápida: calcule à parte o fator "só massa" (1/20, descarta E) e o fator "só raio ao quadrado" (25/4, descarta C) — a resposta certa é sempre o produto dos dois fatores corretos; isso já elimina C, D e E em segundos, restando decidir entre elevar ou não o raio ao quadrado (o que separa A de B).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece na Lei de Coulomb (força elétrica) e na intensidade luminosa, ambas inversamente proporcionais ao quadrado da distância — vale revisar com a mesma estrutura P = k·X/Yⁿ.