Questão 165 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área do retângulo) combinada com Otimização de recursos
• ⚡ Nível: Difícil — o desafio não está na conta, mas em perceber que "qualquer tipo de emenda" transforma um problema de encaixe geométrico em um problema puro de comparação de áreas
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de situação-problema envolvendo áreas de figuras planas para otimizar o uso de material (minimizar desperdício)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Comprando tábuas inteiras de uma única madeireira, em qual delas a área total comprada supera o mínimo de 5 prateleiras (30 cm × 120 cm) com a menor sobra possível?"
• Palavras-chave decisivas: minimizar a sobra, qualquer tipo de emenda, dimensões iguais
• Armadilha típica: tentar "encaixar" a prateleira dentro da tábua respeitando a orientação largura×comprimento (como se fosse um quebra-cabeça rígido), perdendo tempo com casos de corte geométrico quando o próprio enunciado já libera esse encaixe ao permitir emenda de qualquer tipo.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "sobra mínima" em uma conta de área — quantas tábuas inteiras cada madeireira exige e qual é o excedente (área comprada menos área necessária).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do retângulo: A = largura × comprimento. É a ferramenta usada tanto para calcular a área de cada prateleira quanto a área de cada tábua.
• Necessidade total de material: como as 5 prateleiras têm todas a mesma dimensão, a área mínima de madeira é simplesmente 5 vezes a área de uma prateleira.
• Arredondamento para cima (função teto): tábuas são vendidas inteiras — não existe "meia tábua". Por isso, o número de tábuas compradas precisa ser o menor inteiro capaz de cobrir a área necessária.
• Emenda livre = equivalência por área: ao autorizar "qualquer tipo de emenda", o enunciado remove a preocupação com o formato dos recortes. Não importa se a tábua é mais larga ou mais estreita que 30 cm: qualquer sobra pode ser recortada e colada a outra sobra até formar exatamente as peças de 30 cm × 120 cm. Isso reduz o problema a uma simples comparação de áreas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "5 prateleiras de formato retangular, de dimensões iguais a 30 cm de largura por 120 cm de comprimento" → área de cada prateleira = 30 × 120 = 3.600 cm²; área total necessária = 5 × 3.600 = 18.000 cm².
• Evidência 2: "minimizar a sobra de madeira, podendo, para isso, fazer qualquer tipo de emenda" → autoriza tratar o problema exclusivamente por área total, já que qualquer retalho pode ser reaproveitado por emenda.
• Evidência 3 (quadro): as dimensões de cada tábua, por madeireira, são: I (40 cm × 100 cm), II (30 cm × 110 cm), III (35 cm × 120 cm), IV (25 cm × 150 cm) e V (20 cm × 200 cm).
• Síntese: basta calcular, para cada madeireira, a área de uma tábua, descobrir quantas tábuas inteiras são necessárias para atingir ao menos 18.000 cm² e comparar a sobra (área comprada − 18.000 cm²) entre as cinco opções. A madeireira com menor sobra é a resposta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área total necessária

Cada prateleira: 30 cm × 120 cm = 3.600 cm².

Cinco prateleiras: 5 × 3.600 cm² = 18.000 cm² de madeira, no mínimo.

Subpasso 4.2 — Área de cada tábua, quantidade necessária e sobra

Para cada madeireira, calcula-se a área de uma tábua (largura × comprimento), depois o menor número inteiro n de tábuas tal que n × área ≥ 18.000 cm², e por fim a sobra = (n × área) − 18.000 cm².

• Madeireira I (40 × 100): área = 4.000 cm². 18.000 ÷ 4.000 = 4,5 → n = 5 tábuas. Total = 20.000 cm². Sobra = 20.000 − 18.000 = 2.000 cm².
• Madeireira II (30 × 110): área = 3.300 cm². 18.000 ÷ 3.300 ≈ 5,45 → n = 6 tábuas. Total = 19.800 cm². Sobra = 19.800 − 18.000 = 1.800 cm².
• Madeireira III (35 × 120): área = 4.200 cm². 18.000 ÷ 4.200 ≈ 4,29 → n = 5 tábuas. Total = 21.000 cm². Sobra = 21.000 − 18.000 = 3.000 cm².
• Madeireira IV (25 × 150): área = 3.750 cm². 18.000 ÷ 3.750 = 4,8 → n = 5 tábuas. Total = 18.750 cm². Sobra = 18.750 − 18.000 = 750 cm².
• Madeireira V (20 × 200): área = 4.000 cm². 18.000 ÷ 4.000 = 4,5 → n = 5 tábuas. Total = 20.000 cm². Sobra = 20.000 − 18.000 = 2.000 cm².

Subpasso 4.3 — Verificação

Comparando as cinco sobras calculadas: I = 2.000 cm²; II = 1.800 cm²; III = 3.000 cm²; IV = 750 cm²; V = 2.000 cm². O menor valor, de longe, é o da madeireira IV, com apenas 750 cm² de desperdício — bem abaixo de qualquer outra opção. Isso acontece porque 3.750 cm² (área da tábua IV) é o valor cujo múltiplo inteiro mais próximo, por cima, de 18.000 cm² fica mais "justo": 5 × 3.750 = 18.750, uma folga de apenas 4,2% sobre o necessário.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: com tábuas de 40 cm × 100 cm (4.000 cm² cada), são necessárias 5 unidades, totalizando 20.000 cm² e gerando 2.000 cm² de sobra — quase 3 vezes mais desperdício do que a melhor opção.

B) II

❌ Incorreta: tábuas de 30 cm × 110 cm (3.300 cm² cada) parecem vantajosas por terem exatamente a largura da prateleira, mas sua área é pequena demais: são necessárias 6 tábuas (não 5), totalizando 19.800 cm² e deixando 1.800 cm² de sobra — mais que o dobro da sobra da madeireira IV.

C) III

❌ Incorreta: tábuas de 35 cm × 120 cm (4.200 cm² cada) também "batem" com o comprimento de 120 cm da prateleira, mas por terem a maior área unitária entre as opções que exigem 5 tábuas, geram a maior sobra de todas: 3.000 cm².

D) IV

✅ Correta: tábuas de 25 cm × 150 cm (3.750 cm² cada) exigem 5 unidades, totalizando 18.750 cm², apenas 750 cm² acima do mínimo de 18.000 cm² necessário — a menor sobra entre todas as madeireiras avaliadas.

E) V

❌ Incorreta: tábuas de 20 cm × 200 cm (4.000 cm² cada) exigem 5 unidades, totalizando 20.000 cm² e deixando 2.000 cm² de sobra, o mesmo desperdício (proporcionalmente maior) da madeireira I.

🏆 Gabarito: D — a madeireira IV é a única em que a área total comprada (18.750 cm²) fica mais próxima da área mínima necessária (18.000 cm²), resultando na menor sobra de madeira (750 cm²) entre as cinco opções.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a madeireira IV combina a área de tábua (3.750 cm²) e a quantidade necessária (5 unidades) de forma a deixar sobra mínima; todas as demais opções superam 1.800 cm² de desperdício, mais que o dobro do valor obtido em IV.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma testar "otimização com arredondamento" — situações em que um recurso só pode ser comprado em unidades inteiras (tábuas, latas de tinta, caixas, ônibus) e o candidato precisa usar a função teto para não subestimar a quantidade necessária.
• Generalização: sempre que o enunciado liberar cortes e emendas livres ("pode ser cortado", "pode ser remontado", "sem restrição de formato"), o problema geométrico se reduz a uma comparação de áreas (ou volumes); o cuidado geométrico de encaixe só é necessário quando o enunciado restringe a forma dos cortes.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a área total necessária (aqui, 18.000 cm²) e a área de cada tábua; descarte de cara as opções cuja área unitária, multiplicada pelo número inteiro mínimo de peças, gera folgas grandes (como III, com 3.000 cm²) — a resposta certa é sempre a que "encaixa" mais próxima do múltiplo mínimo.
• Conexões: problemas de embalagem/otimização de corte (cutting stock) e questões de progressão/arredondamento em compras de material de construção, tinta ou combustível.