Questão 172 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções Quadráticas (vértice da parábola e ponto de máximo)
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que o vértice de uma parábola com concavidade para baixo é o ponto de valor máximo e aplicar corretamente a fórmula xᵥ = –b/2a.
• 🎯 Tema/Habilidade: Otimização com função quadrática — resolver problema contextualizado (lucro em função do preço) usando as propriedades do vértice da parábola.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os cinco preços de barra de chocolate disponíveis, qual gera o maior lucro possível segundo a função L(x) = –x² + 14x – 45?"
• Palavras-chave decisivas: lucro, função, preço da barra
• Armadilha típica: confundir o preço de lucro máximo com o preço em que o lucro é zero (as raízes da função) ou simplesmente escolher a barra mais cara, achando que preço alto significa lucro alto.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe calcular o vértice de uma parábola com concavidade para baixo e usá-lo para identificar, entre os valores tabelados, aquele que maximiza o lucro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0; seu gráfico é sempre uma parábola.
• Concavidade e extremos: quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto de máximo (o vértice); quando a > 0, ela tem um ponto de mínimo.
• Vértice da parábola: as coordenadas do vértice são xᵥ = –b/(2a) e yᵥ = f(xᵥ); xᵥ é o valor da variável que gera o extremo (máximo ou mínimo) da função.
• Raízes da função: são os valores de x em que f(x) = 0; no contexto de lucro, indicam o "ponto de equilíbrio" (nem lucro, nem prejuízo) — não devem ser confundidas com o ponto de máximo lucro.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "L(x) = –x² + 14x – 45" → função quadrática com a = –1 (negativo), b = 14 e c = –45; como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, logo existe um lucro máximo bem definido.
• Evidência 2: "x representa o preço da barra de chocolate" → a variável que precisa ser encontrada (o x do vértice) deve ser comparada diretamente com os cinco preços listados: R$ 2,00; R$ 3,50; R$ 4,00; R$ 7,00; R$ 8,00.
• Síntese: o caminho da resolução é calcular xᵥ = –b/(2a) para achar o preço que maximiza L(x) e, em seguida, verificar a qual barra (I a V) esse preço corresponde na tabela.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os coeficientes da função

Na função L(x) = –x² + 14x – 45, comparando com a forma geral ax² + bx + c, temos:

a = –1, b = 14, c = –45.

Como a = –1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo, ou seja, o vértice é um ponto de máximo.

Subpasso 4.2 — Calcular o preço que maximiza o lucro (vértice)

xᵥ = –b/(2a) = –14/(2 × (–1)) = –14/(–2) = 7

Ou seja, o lucro é máximo quando o preço da barra é x = R$ 7,00.

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar o lucro nos cinco preços da tabela

Substituindo cada preço em L(x) = –x² + 14x – 45:

• Barra I (x = 2): L(2) = –4 + 28 – 45 = –21 (prejuízo)
• Barra II (x = 3,5): L(3,5) = –12,25 + 49 – 45 = –8,25 (prejuízo)
• Barra III (x = 4): L(4) = –16 + 56 – 45 = –5 (prejuízo)
• Barra IV (x = 7): L(7) = –49 + 98 – 45 = 4 (maior lucro)
• Barra V (x = 8): L(8) = –64 + 112 – 45 = 3 (lucro, mas menor que na Barra IV)

O maior valor de L(x) entre as cinco opções é 4, obtido exatamente em x = 7, que é o vértice calculado no Subpasso 4.2. Isso confirma que a Barra IV, de R$ 7,00, é a que gera o maior lucro para a empresa.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: a Barra I custa R$ 2,00, valor bem distante do vértice x = 7. Substituindo na função, L(2) = –21, ou seja, esse preço gera prejuízo, não lucro máximo — é o preço mais afastado do ponto ótimo entre todas as opções.

B) II.

❌ Incorreta: a Barra II custa R$ 3,50. L(3,5) = –8,25, ainda um prejuízo considerável. Esse preço também está muito abaixo do vértice (x = 7) e, portanto, longe de maximizar o lucro.

C) III.

❌ Incorreta: a Barra III custa R$ 4,00. L(4) = –5, o que ainda representa prejuízo. Embora mais próximo de x = 7 do que as opções anteriores, o valor de x = 4 ainda está longe o suficiente do vértice para gerar lucro negativo.

D) IV.

✅ Correta: a Barra IV custa exatamente R$ 7,00, que é o valor de xᵥ calculado pela fórmula do vértice. Como a parábola tem concavidade para baixo (a = –1 < 0), esse é precisamente o ponto de lucro máximo, com L(7) = 4 — o maior valor entre todos os preços testados.

E) V.

❌ Incorreta: a Barra V custa R$ 8,00, gerando L(8) = 3. Embora esse preço também produza lucro positivo (diferente das barras I, II e III), o valor é menor que o obtido com a Barra IV, pois x = 8 está a uma unidade de distância do vértice (x = 7), enquanto x = 7 coincide exatamente com ele. É uma alternativa "quase certa" para quem apenas testa os extremos da tabela sem calcular o vértice.

🏆 Gabarito: D — a Barra IV (R$ 7,00) corresponde exatamente ao vértice da parábola L(x) = –x² + 14x – 45, ponto em que o lucro atinge seu valor máximo (L(7) = 4), superior ao lucro obtido em qualquer um dos outros quatro preços.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre os cinco preços tabelados, apenas x = 7 coincide com o vértice da parábola, tornando a Barra IV a única alternativa que efetivamente maximiza o lucro — todas as demais geram lucro menor (ou até prejuízo).
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente contextualiza funções quadráticas em situações de lucro, receita ou área máxima/mínima, sempre reduzindo o problema ao cálculo do vértice da parábola.
• Generalização: em qualquer função do tipo f(x) = ax² + bx + c com a < 0, o valor máximo de f ocorre sempre em xᵥ = –b/(2a); em problemas de múltipla escolha, basta calcular esse valor e localizá-lo (ou o mais próximo dele) entre as alternativas.
• Dica de eliminação rápida: calcule xᵥ = –b/(2a) antes de testar qualquer alternativa; isso elimina imediatamente as opções distantes do vértice, sem necessidade de substituir todos os valores na função.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a problemas de "receita máxima em função do preço de venda" e de "área máxima de um terreno com perímetro fixo" — ambos clássicos do ENEM que se resolvem pela mesma fórmula do vértice.