Questão 167 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Médias ponderadas e inequações do 1º grau
• ⚡ Nível: Difícil — exige modelar a migração de eleitores como uma variável que altera o placar das duas chapas ao mesmo tempo (quem perde é exatamente quem o outro ganha), além de arredondar corretamente uma desigualdade estrita para um número inteiro de pessoas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Placar de votação com pesos distintos por categoria de eleitor; resolução de situação-problema por meio de equações e inequações do 1º grau.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o número mínimo de sócios contribuintes que precisam trocar o voto da chapa I para a chapa II, na nova eleição, para que a chapa II saia vencedora?"
• Palavras-chave decisivas: peso 0,6 e peso 0,4, patrimoniais não mudarão seus votos, mudem seus votos para a chapa II
• Armadilha típica: tratar a migração de um eleitor como algo que só beneficia a chapa II (somando o peso apenas no placar dela), esquecendo que esse mesmo eleitor deixa de contar para a chapa I — ou, pior, ignorar os pesos 0,6/0,4 e comparar votos "crus".
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar o placar ponderado das duas chapas em função de uma incógnita (número de contribuintes que trocam de voto), resolver a inequação correta e identificar o menor inteiro que garante vitória.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Placar ponderado: o resultado de cada chapa não é a simples contagem de votos, mas a soma de (peso da categoria) × (quantidade de votos daquela categoria). Aqui, Placar = 0,6 × (votos patrimoniais) + 0,4 × (votos contribuintes).
• Migração de voto como variável dupla: se x eleitores mudam da chapa I para a chapa II, o placar de I diminui em (peso × x) e o placar de II aumenta em (peso × x) simultaneamente — o "ganho" de um lado é exatamente a "perda" do outro.
• Inequação estrita com solução inteira: como a vitória exige placar estritamente maior (empate não define vencedor) e x representa pessoas, a resposta final é o menor número inteiro que torna a desigualdade verdadeira — não o valor exato (possivelmente fracionário) que zera a diferença.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4" → define exatamente a fórmula do placar: cada voto patrimonial vale 0,6 ponto e cada voto de contribuinte vale 0,4 ponto.
• Evidência 2: "os sócios patrimoniais não mudarão seus votos" → os 850 votos patrimoniais da chapa I e os 1 300 da chapa II permanecem fixos na nova eleição; toda a disputa se concentra exclusivamente nos contribuintes.
• Evidência 3: "pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição" e "será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes... para que mudem seus votos para a chapa II" → a chapa II parte da base de 2 120 contribuintes garantidos e precisa converter uma parcela dos 4 300 que hoje votam na chapa I.
• Síntese: o problema se reduz a encontrar o menor número inteiro x de sócios contribuintes que, ao migrar da chapa I para a chapa II, faz o placar ponderado de II ultrapassar o de I.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Placar da eleição anterior

Chapa I: 0,6 × 850 + 0,4 × 4 300 = 510 + 1 720 = 2 230 pontos

Chapa II: 0,6 × 1 300 + 0,4 × 2 120 = 780 + 848 = 1 628 pontos

Vantagem da chapa I: 2 230 − 1 628 = 602 pontos

Subpasso 4.2 — Modelando a migração dos contribuintes

Seja x o número de sócios contribuintes que trocam o voto da chapa I para a chapa II. Como os votos patrimoniais não mudam, o novo placar é:

Chapa I: 2 230 − 0,4x (perde 0,4 ponto por eleitor que sai)

Chapa II: 1 628 + 0,4x (ganha 0,4 ponto por eleitor que entra)

Para a chapa II vencer, é preciso que:

1 628 + 0,4x > 2 230 − 0,4x

0,8x > 602

x > 752,5

Subpasso 4.3 — Verificação e arredondamento

Como x deve ser um número inteiro de pessoas e a desigualdade é estrita, testamos os inteiros vizinhos de 752,5:

• x = 752 → Chapa I: 2 230 − 0,4×752 = 1 929,2 | Chapa II: 1 628 + 0,4×752 = 1 928,8 → chapa I ainda vence (por 0,4 ponto).
• x = 753 → Chapa I: 2 230 − 0,4×753 = 1 928,8 | Chapa II: 1 628 + 0,4×753 = 1 929,2 → chapa II vence (por 0,4 ponto).

Logo, o menor número de contribuintes que precisam migrar é 753, exatamente a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 449.

❌ Incorreta: esse valor não satisfaz a inequação 0,8x > 602 (0,8 × 449 = 359,2, resultado muito abaixo dos 602 pontos necessários). É o tipo de distrator que aparece quando se manipula diretamente números "soltos" do enunciado — por exemplo, a diferença de votos patrimoniais (1 300 − 850 = 450) — sem montar o placar ponderado nem considerar o efeito duplo da migração sobre os contribuintes.

B) 753.

✅ Correta: é o menor inteiro que torna 1 628 + 0,4x maior que 2 230 − 0,4x, conforme demonstrado no Passo 4. Garante à chapa II uma vitória por margem mínima (0,4 ponto no placar ponderado).

C) 866.

❌ Incorreta: resulta de ignorar completamente os pesos 0,6 e 0,4 e tratar cada voto — patrimonial ou de contribuinte — como valendo 1 ponto. Nesse cenário equivocado, os totais brutos seriam 5 150 (chapa I) e 3 420 (chapa II), diferença de 1 730, e cada migração alteraria o placar em 2 pontos (perde 1, ganha 1): 1 730 ÷ 2 = 865, arredondando para 866. É o erro clássico de confundir "contagem de votos" com "placar ponderado".

D) 941.

❌ Incorreta: surge ao inverter os pesos do enunciado — usar 0,4 para os sócios patrimoniais e 0,6 para os contribuintes, o oposto do que foi informado. Essa troca desloca todo o placar inicial e o ponto de virada passa a exigir 941 conversões. Reforça a importância de associar corretamente cada peso à sua categoria de sócio antes de montar a equação.

E) 1 091.

❌ Incorreta: aparece quando se analisa apenas a disputa pelo voto dos contribuintes isoladamente, como se bastasse a chapa II conquistar a maioria simples dentro desse grupo (metade de 6 420 é 3 210; 3 210 − 2 120 + 1 = 1 091). Esse raciocínio ignora que a chapa I já parte na frente por causa do peso maior nos votos patrimoniais, e que o placar final soma as duas categorias — não apenas os contribuintes.

🏆 Gabarito: B — 753 é o menor número inteiro de sócios contribuintes que, ao migrar da chapa I para a chapa II, faz o placar ponderado (0,6 × patrimoniais + 0,4 × contribuintes) da chapa II superar o da chapa I.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente x = 753 satisfaz simultaneamente os pesos corretos (0,6 patrimonial / 0,4 contribuinte), o efeito duplo da migração de voto e a exigência de vitória por desigualdade estrita com x inteiro — todas as demais alternativas violam pelo menos uma dessas condições.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de contextualizar médias e placares ponderados em situações "realistas" — eleições, boletins escolares, índices compostos, misturas de preços — sempre exigindo que o aluno monte a equação certa antes de qualquer conta.
• Generalização: em qualquer disputa entre dois grupos com pesos diferentes, cada unidade que migra de um lado para o outro altera a diferença de placar em (peso de perda + peso de ganho); quando esse total é conhecido, basta dividir a diferença inicial por ele e arredondar para o próximo inteiro se a desigualdade for estrita.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa reproduzir a diferença bruta de votos (sem peso algum) ou parecer ter surgido da troca dos pesos entre as categorias, desconfie — refaça o placar exatamente como o enunciado descreve antes de confirmar a resposta.
• Conexões: média ponderada (boletim escolar, índices como o IDH), sistemas de inequações lineares com uma incógnita aplicados a problemas de decisão.