Questão 168 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim / Matemática Financeira (custo, receita e lucro)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente a função lucro e, além disso, interpretar que o resultado deve ser um número inteiro de pacotes arredondado para cima.
• 🎯 Tema/Habilidade: Ponto de equilíbrio financeiro (break-even) via função afim — resolver e interpretar inequação do 1º grau em contexto de gestão de custos (competência de Matemática do ENEM ligada a resolução de problemas do cotidiano com noções de economia).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a menor quantidade inteira de pacotes vendidos no mês que faz a empresa ter lucro igual ou maior que zero (sem prejuízo)?"
• Palavras-chave decisivas: mínimo, não tenha prejuízo, mensalmente
• Armadilha típica: dividir corretamente 12.800 por 112 e encontrar 114,28..., mas arredondar para baixo (114) em vez de para cima. Como não existe "0,28 de pacote", vender 114 pacotes ainda deixa a empresa no vermelho — é preciso completar o 115º pacote inteiro para zerar o prejuízo e passar a ter lucro.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a função lucro mensal L(n) = receita total − custo variável total − custo fixo, resolver a inequação L(n) ≥ 0 e arredondar corretamente para o menor número inteiro de pacotes que satisfaz a condição.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Custo fixo: valor que a empresa paga todo mês independentemente de quanto produz ou vende (aqui, R$ 12.800,00). Não varia com o número de pacotes.
• Custo variável: custo que depende diretamente da quantidade produzida — no caso, R$ 0,42 por chaveiro, multiplicado pelos 400 chaveiros de cada pacote.
• Margem de contribuição (lucro bruto por pacote): diferença entre o preço de venda de um pacote e o custo variável de produzi-lo. É o valor que cada pacote vendido "contribui" para pagar o custo fixo e, depois, gerar lucro.
• Ponto de equilíbrio (break-even): quantidade de vendas em que a receita total se iguala exatamente aos custos totais (fixo + variável), ou seja, lucro igual a zero. Vender menos que isso gera prejuízo; vender mais gera lucro.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "custo de produção de cada unidade é de R$ 0,42" e "pacotes com 400 chaveiros" → revela que o custo variável não é por pacote diretamente: é preciso multiplicar R$ 0,42 pelos 400 chaveiros do pacote para achar o custo de produzir um pacote inteiro.
• Evidência 2: "vendidos por R$ 280,00" → é a receita gerada por cada pacote vendido, que deve ser comparada ao custo variável do pacote (não ao custo unitário do chaveiro isoladamente).
• Evidência 3: "custo mensal fixo de R$ 12.800,00 que não depende do número de chaveiros produzidos" → confirma que esse valor entra uma única vez na conta do mês, não é multiplicado por nada; ele precisa ser "pago" pela soma das margens de contribuição de todos os pacotes vendidos.
• Síntese: o problema pede o ponto de equilíbrio em pacotes por mês. A estratégia é: (1) achar quanto cada pacote realmente gera de lucro bruto (receita menos custo variável do pacote), (2) descobrir quantos pacotes desse lucro bruto são necessários para cobrir o custo fixo, e (3) arredondar para o inteiro que garanta lucro ≥ 0.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Custo variável e margem de contribuição por pacote

Cada pacote tem 400 chaveiros, e cada chaveiro custa R$ 0,42 para ser produzido. Logo, o custo variável de produzir um pacote inteiro é:

Custo variável por pacote = 400 × R$ 0,42 = R$ 168,00

Cada pacote é vendido por R$ 280,00. A margem de contribuição (lucro bruto) de cada pacote vendido é:

Margem por pacote = R$ 280,00 − R$ 168,00 = R$ 112,00

Ou seja: a cada pacote vendido, sobram R$ 112,00 depois de pagar o custo de produção daquele pacote — e é esse valor que vai ajudar a cobrir o custo fixo mensal.

Subpasso 4.2 — Montagem e resolução da inequação do lucro mensal

Seja n o número de pacotes vendidos no mês. O lucro mensal total é dado por:

L(n) = 112n − 12.800

Para a empresa não ter prejuízo, o lucro deve ser maior ou igual a zero:

112n − 12.800 ≥ 0

112n ≥ 12.800

n ≥ 12.800 ÷ 112

n ≥ 114,2857...

Como n representa uma quantidade de pacotes (um número inteiro — não existe "0,2857 de pacote" vendido), o menor inteiro que satisfaz n ≥ 114,2857... não é 114 (que é menor que 114,2857...), e sim o próximo inteiro acima: n = 115.

Subpasso 4.3 — Verificação

Testando os dois candidatos mais próximos para confirmar o arredondamento correto:

• n = 114 → L(114) = 112 × 114 − 12.800 = 12.768 − 12.800 = −R$ 32,00 (prejuízo de R$ 32,00 — ainda no vermelho!)
• n = 115 → L(115) = 112 × 115 − 12.800 = 12.880 − 12.800 = +R$ 80,00 (lucro positivo — condição satisfeita)

A verificação confirma: com 114 pacotes a empresa ainda perde dinheiro; é somente ao vender o 115º pacote que ela sai do prejuízo. Portanto, o número mínimo de pacotes é 115, batendo exatamente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 26

❌ Incorreta: 26 × R$ 112,00 = R$ 2.912,00 — bem abaixo dos R$ 12.800,00 necessários só para cobrir o custo fixo (faltariam R$ 9.888,00). Costuma vir de tratar o preço de venda do pacote como se já fosse lucro líquido, ou de dividir o custo fixo por apenas uma fração dele.

B) 46

❌ Incorreta: erro clássico de esquecer de multiplicar o custo unitário (R$ 0,42) pelos 400 chaveiros do pacote. Usando R$ 0,42 direto como custo do pacote, a margem ficaria R$ 280,00 − R$ 0,42 = R$ 279,58, e 12.800 ÷ 279,58 ≈ 45,78 → arredonda para 46. Falta converter custo por chaveiro em custo por pacote.

C) 109

❌ Incorreta: não sobrevive à verificação — 109 × R$ 112,00 = R$ 12.208,00, ainda R$ 592,00 abaixo do custo fixo, ou seja, prejuízo. Pode surgir de uma leitura equivocada do custo fixo (ex.: R$ 12.200,00 em vez de R$ 12.800,00): 12.200 ÷ 112 ≈ 108,9 → arredonda para 109; com o valor correto, o resultado não se sustenta.

D) 114

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão. O aluno chega corretamente a 12.800 ÷ 112 = 114,2857..., mas arredonda para baixo (ou trunca), esquecendo que 114 pacotes geram só R$ 12.768,00 de margem — R$ 32,00 a menos do necessário, ou seja, ainda há prejuízo. Como não pode haver prejuízo, é obrigatório arredondar para cima.

E) 115

✅ Correta: é o menor inteiro tal que a margem acumulada (112 × 115 = R$ 12.880,00) supera o custo fixo (R$ 12.800,00), gerando lucro de R$ 80,00 — o único valor que satisfaz 112n ≥ 12.800 com n inteiro.

🏆 Gabarito: E — 115 é o menor número inteiro de pacotes que, multiplicado pela margem de contribuição de R$ 112,00, iguala ou supera o custo fixo de R$ 12.800,00, garantindo que a empresa não tenha prejuízo no mês.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só n = 115 satisfaz ao mesmo tempo a inequação do lucro (n ≥ 114,2857...) e a exigência de ser um número inteiro de pacotes — qualquer valor de 114 para baixo ainda resulta em prejuízo, conforme comprovado pela verificação direta.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente contextualiza função afim em situações de microempresas, com custo fixo, custo variável e preço de venda, pedindo o "ponto de equilíbrio" (quantidade mínima para não ter prejuízo/para começar a ter lucro). É um dos usos mais recorrentes de inequação do 1º grau na prova.
• Generalização: sempre que o problema pedir uma quantidade mínima de itens vendidos para "não ter prejuízo" (lucro ≥ 0), resolva a inequação Receita − Custo Variável − Custo Fixo ≥ 0; se a variável representa unidades discretas (pacotes, peças, ingressos), sempre arredonde o resultado não inteiro para cima, nunca para o inteiro mais próximo.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a margem de contribuição por unidade vendida (preço − custo variável) e multiplique mentalmente pelas alternativas mais próximas do valor "redondo" da divisão; qualquer alternativa cujo produto fique abaixo do custo fixo pode ser eliminada na hora — é assim que se descarta A, C e D rapidamente, sobrando a comparação final entre D (arredondar errado) e E (arredondar certo).
• Conexões: este problema se conecta a questões de PA/PG aplicadas a financiamentos, porcentagem em markup e margem de lucro, e a outros exercícios clássicos de função afim em contextos de custo, receita e lucro (como "quantos ingressos vender para pagar o aluguel de um teatro").