Questão 161 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem (variação percentual composta) e Proporcionalidade direta/inversa
• ⚡ Nível: Difícil — exige compor duas variações percentuais multiplicativamente e perceber que a queda de uma variável no denominador não gera o mesmo percentual de aumento no seu inverso.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de variação percentual sucessiva aplicada a um índice definido por proporcionalidade direta e inversa (Ideb = N × P, com P = 1/T)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se N sobe 2% e T cai 2%, sendo Ideb = N × P e P = 1/T, qual a variação percentual do Ideb?"
• Palavras-chave decisivas: diminuiu 2%, aumentou em 2%, em relação ao calculado em 2015
• Armadilha típica: somar as duas taxas (2% + 2% = 4%) como se variações percentuais fossem aditivas, ou tratar a queda de 2% em T como se produzisse uma queda (e não um aumento) no Ideb.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe compor percentuais multiplicativamente — (1 + i₁)(1 + i₂) — e reconhece corretamente qual variável é diretamente e qual é inversamente proporcional ao Ideb.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Proporcionalidade direta: se Ideb = N × P, mantendo P fixo, um aumento percentual em N gera o mesmo aumento percentual no Ideb.
• Proporcionalidade inversa: como P = 1/T, o Ideb pode ser reescrito como Ideb = N/T; logo T está no denominador e uma queda em T aumenta o Ideb (e não diminui).
• Composição multiplicativa de percentuais: quando duas variáveis que se multiplicam variam ao mesmo tempo, o fator de variação total é o produto dos fatores individuais, (1+i₁)·(1+i₂), nunca a soma das taxas i₁+i₂ — essa soma é só uma aproximação grosseira para taxas muito pequenas.
• Efeito de uma queda no denominador sobre o inverso: se uma variável cai p%, seu inverso não sobe exatamente p%; sobe [1/(1−p) − 1]×100%, valor sempre um pouco maior que p% quando p > 0.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "P... refere-se ao fluxo escolar... sendo calculado por P = 1/T" → o Ideb depende de T de forma inversa, já que Ideb = N × P = N/T.
• Evidência 2: "o tempo médio de permanência... diminuiu 2%, enquanto a... proficiência... aumentou em 2%" → há duas variações simultâneas, uma em N (numerador) e outra em T (denominador), ambas com potencial de empurrar o Ideb no mesmo sentido.
• Síntese: como o Ideb é o produto N × P e P é o inverso de T, tanto o crescimento de N quanto a queda de T tendem a AUMENTAR o Ideb — os dois efeitos se reforçam, e a resolução exige multiplicar (não somar) os fatores de variação de cada um.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reescrever o Ideb em função de N e T

Partindo das duas expressões dadas:

Ideb = N × P e P = 1/T

Substituindo, o Ideb de uma escola em determinado ano pode ser escrito como:

Ideb = N × (1/T) = N/T

Chame o Ideb de 2015 de Ideb₀, com proficiência N₀ e tempo médio T₀:

Ideb₀ = N₀/T₀

Subpasso 4.2 — Aplicar as variações percentuais de 2017

A proficiência N aumentou 2%, logo o novo valor é multiplicado pelo fator (1 + 0,02):

N₁ = 1,02 × N₀

O tempo médio T diminuiu 2%, logo o novo valor é multiplicado pelo fator (1 − 0,02):

T₁ = 0,98 × T₀

O novo indicador de fluxo é:

P₁ = 1/T₁ = 1/(0,98 × T₀) = (1/0,98) × (1/T₀) = 1,020408... × P₀

Ou seja, P (inversamente proporcional a T) não sobe exatamente 2%: sobe aproximadamente 2,0408%, porque dividir por um número 2% menor aumenta o quociente em uma taxa levemente maior que 2%.

O novo Ideb é o produto dos dois fatores de variação aplicado ao Ideb original:

Ideb₁ = N₁ × P₁ = (1,02 × N₀) × (1,020408... × P₀) = (1,02 × 1,020408...) × (N₀ × P₀)

Ideb₁ = 1,040816... × Ideb₀

Subpasso 4.3 — Verificação

A variação percentual é:

1,040816... − 1 = 0,040816... → 4,08% (arredondado a duas casas decimais)

Confirma-se, portanto, que o Ideb de 2017 é cerca de 4,08% maior que o de 2015, resultado que bate exatamente com o valor numérico e com a explicação da alternativa E: um acréscimo em uma grandeza diretamente proporcional (N) somado, de forma multiplicativa, a um decréscimo em uma grandeza inversamente proporcional (T, via P = 1/T).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) permaneceu inalterado, pois o aumento e a diminuição de 2% nos dois parâmetros anulam-se.

❌ Incorreta: essa alternativa trata implicitamente T como se fosse diretamente proporcional ao Ideb (como se uma queda em T também derrubasse o Ideb, "cancelando" o efeito do aumento de N). Na verdade T entra de forma inversa (P = 1/T), então sua queda também eleva o Ideb — os dois efeitos se somam multiplicativamente, não se anulam. Além disso, mesmo em casos de proporcionalidade direta, um acréscimo de p% seguido de um decréscimo de p% nunca cancela exatamente, pois (1+p)(1−p) = 1−p² ≠ 1.

B) aumentou em 4%, pois o aumento de 2% na média da proficiência soma-se à diminuição de 2% no tempo médio de permanência dos alunos na série.

❌ Incorreta: comete o erro clássico de somar percentuais (2% + 2% = 4%) em vez de compô-los multiplicativamente. Variações percentuais de grandezas que se multiplicam (ou se dividem) não são aditivas; o fator correto é 1,02 × (1/0,98) = 1,040816..., que resulta em 4,08%, não em 4%.

C) diminuiu em 4,04%, pois tanto o decrescimento do tempo médio de permanência dos alunos na série em 2% quanto o crescimento da média da proficiência em 2% implicam dois decréscimos consecutivos de 2% no valor do Ideb.

❌ Incorreta: erra o sinal do efeito de T. Como T está no denominador do Ideb (via P = 1/T), sua diminuição gera um AUMENTO no Ideb, e não um decréscimo. Tratar os dois efeitos como "decréscimos consecutivos" inverte a proporcionalidade inversa e leva a uma conclusão numérica e conceitualmente errada.

D) aumentou em 4,04%, pois tanto o decrescimento do tempo médio de permanência dos alunos na série em 2% quanto o crescimento da média da proficiência em 2% implicam dois acréscimos consecutivos de 2% no valor do Ideb.

❌ Incorreta (é a distratora mais forte): acerta a direção — reconhece que o Ideb aumenta e que os efeitos se compõem multiplicativamente, calculando 1,02 × 1,02 = 1,0404 (4,04%). O erro está em assumir que uma queda de 2% em T produz exatamente um acréscimo de 2% em P. Isso não é verdade: P = 1/T, e 1/0,98 = 1,020408..., um acréscimo de aproximadamente 2,04% (não 2%) em P. Ao ignorar essa assimetria da proporcionalidade inversa, a alternativa subestima levemente o resultado real (4,08%).

E) aumentou em 4,08%, pois houve um acréscimo de 2% num parâmetro que é diretamente proporcional e um decréscimo de 2% num parâmetro que é inversamente proporcional ao Ideb.

✅ Correta: identifica corretamente que N é diretamente proporcional ao Ideb (fator 1,02) e que T é inversamente proporcional ao Ideb, via P = 1/T (a queda de 2% em T gera fator 1/0,98 = 1,020408... sobre P). Compondo os dois fatores multiplicativamente — 1,02 × 1,020408... = 1,040816... —, obtém-se um aumento de 4,08%, exatamente o valor calculado no Passo 4.

🏆 Gabarito: E — o Ideb, escrito como N/T, cresce simultaneamente pelo aumento direto de N (2%) e pela queda de T no denominador (que eleva P em ~2,04%); compondo multiplicativamente os dois fatores chega-se a um acréscimo de 4,08%.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa E identifica corretamente as duas proporcionalidades (direta em N, inversa em T via P = 1/T) e calcula a composição multiplicativa exata, chegando ao único valor coerente: 4,08%.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa índices e fórmulas do "mundo real" (Ideb, IPCA, densidade demográfica, escalas) para testar se o aluno entende proporcionalidade direta e inversa dentro de uma fórmula composta, e não apenas porcentagem isolada.
• Generalização: sempre que duas grandezas que se multiplicam (ou uma se divide pela outra) variam ao mesmo tempo, a variação percentual do resultado é o produto dos fatores (1+i₁)(1+i₂) − 1, nunca a soma i₁+i₂; e uma queda de p% em uma variável do denominador gera um aumento em seu inverso ligeiramente MAIOR que p%.
• Dica de eliminação rápida: primeiro decida a direção (aumentou ou diminuiu) analisando o sinal de cada proporcionalidade — isso já elimina A e C. Depois, desconfie de qualquer alternativa que use soma simples de percentuais (elimina B) ou que trate 1/0,98 como se fosse igual a 1,02 (elimina D), restando apenas E.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de juros compostos, reajustes salariais sucessivos e variação de densidade demográfica (razão entre população e área), sempre que se pergunta o efeito de mudanças simultâneas no numerador e no denominador de um índice.