Questão 177 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (custo fixo + custo variável) aplicada a um problema de otimização
• ⚡ Nível: Médio — exige montar cinco expressões lineares diferentes e comparar seus valores numéricos sem cometer erro de leitura de dados
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situação financeira com função afim (custo = taxa fixa + taxa variável × distância) para escolher a opção de menor custo total
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco hotéis, cada um com diária e distância diferentes, qual tem o menor custo total (diária + corrida de táxi)?"
• Palavras-chave decisivas: menor custo, diária mais locomoção, R$ 2,50 por quilômetro mais taxa fixa de R$ 6,00
• Armadilha típica: comparar apenas o valor da diária (o mais barato, H1, parece tentador) ou apenas a distância (a menor, H5), ignorando que o custo total é a soma dos dois fatores
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir cada opção em uma função afim do tipo custo = diária + (6,00 + 2,50·d) e comparar os cinco resultados numéricos

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (f(x) = ax + b): modelo em que existe uma parcela fixa (b) e uma parcela que varia proporcionalmente a uma grandeza (ax). Aqui, o custo do táxi é justamente isso: R$ 6,00 fixos + R$ 2,50 por quilômetro rodado.
• Custo total como soma de duas funções: o problema pede a soma de um valor constante (a diária, que não depende da distância) com uma função afim da distância (o táxi). Isso gera, para cada hotel, um número fixo a ser calculado e comparado.
• Otimização por comparação direta: como são apenas cinco opções discretas (não uma função contínua a minimizar por derivada), a estratégia correta é calcular o custo de cada uma e escolher o menor — não existe atalho algébrico, só organização de cálculo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "recepcionista apresentou-lhe algumas opções de hotéis com diárias mais baratas, mas localizados a certa distância" → cada hotel tem duas variáveis relevantes: diária (R$) e distância (km) até ele.
• Evidência 2: "táxi que cobra R$ 2,50 por quilômetro rodado mais taxa fixa de R$ 6,00" → define a função do custo de deslocamento: C(d) = 2,50·d + 6,00, válida para qualquer um dos cinco trajetos.
• Evidência 3: "escolha será em função do menor custo, composto pelo valor da diária mais a locomoção de táxi" → o critério de decisão é: Custo Total = Diária + C(d), e deve-se escolher o hotel com o menor Custo Total entre as cinco opções.
• Síntese: a questão fornece uma tabela com 5 pares (diária, distância) e uma regra de tarifa de táxi; a tarefa é calcular 5 somas e apontar a menor.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a função do custo de táxi

O texto informa que o táxi cobra R$ 2,50 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$ 6,00. Chamando de d a distância em km até o hotel escolhido, o custo do deslocamento é:

C(d) = 2,50 · d + 6,00

Essa é a mesma fórmula para qualquer um dos cinco hotéis — o que muda em cada caso é apenas o valor de d e a diária somada a ela.

Subpasso 4.2 — Calcular o custo total (diária + táxi) para cada hotel

Os dados fornecidos no quadro são:

| Hotel | Diária (R$) | Distância (km) |

|---|---|---|

| H1 | 180,00 | 7 |

| H2 | 200,00 | 1,6 |

| H3 | 199,00 | 4,5 |

| H4 | 190,00 | 1,5 |

| H5 | 205,00 | 1,2 |

Aplicando Custo Total = Diária + (2,50·d + 6,00) a cada linha:

• H1: 180,00 + (2,50 × 7 + 6,00) = 180,00 + (17,50 + 6,00) = 180,00 + 23,50 = 203,50
• H2: 200,00 + (2,50 × 1,6 + 6,00) = 200,00 + (4,00 + 6,00) = 200,00 + 10,00 = 210,00
• H3: 199,00 + (2,50 × 4,5 + 6,00) = 199,00 + (11,25 + 6,00) = 199,00 + 17,25 = 216,25
• H4: 190,00 + (2,50 × 1,5 + 6,00) = 190,00 + (3,75 + 6,00) = 190,00 + 9,75 = 199,75
• H5: 205,00 + (2,50 × 1,2 + 6,00) = 205,00 + (3,00 + 6,00) = 205,00 + 9,00 = 214,00

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar os cinco totais e apontar o mínimo

Colocando os resultados em ordem crescente:

199,75 (H4) < 203,50 (H1) < 210,00 (H2) < 214,00 (H5) < 216,25 (H3)

O menor custo total é o de H4, com R$ 199,75 — menor até mesmo do que H1, que tinha a diária mais barata de todas (R$ 180,00), pois a distância maior (7 km) encareceu bastante a corrida de táxi (R$ 23,50), superando a economia na diária. Esse resultado confirma que a resposta não pode ser obtida olhando isoladamente para o menor preço de diária nem para a menor distância — apenas a soma dos dois define o vencedor.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) H1.

❌ Incorreta: H1 tem a diária mais barata (R$ 180,00), o que engana quem olha só esse critério, mas a distância de 7 km torna o táxi caro (R$ 23,50), elevando o custo total para R$ 203,50 — maior que o de H4.

B) H2.

❌ Incorreta: H2 tem custo total de R$ 210,00. É o segundo hotel mais próximo (1,6 km), mas sua diária de R$ 200,00 é alta demais para compensar a proximidade.

C) H3.

❌ Incorreta: H3 é a pior opção entre as cinco, com custo total de R$ 216,25 — combina diária relativamente alta (R$ 199,00) com uma distância também considerável (4,5 km), o que soma os dois piores fatores.

D) H4.

✅ Correta: H4 tem o menor custo total, R$ 199,75, resultado de uma diária moderada (R$ 190,00) somada a uma distância pequena (1,5 km), que mantém a corrida de táxi barata (R$ 9,75). É o único hotel em que a soma diária + táxi fica abaixo de R$ 200,00.

E) H5.

❌ Incorreta: H5 tem a menor distância de todas (1,2 km), o que poderia sugerir ser a escolha certa para quem olha só a proximidade, mas sua diária de R$ 205,00 é a mais cara do grupo, resultando em custo total de R$ 214,00 — pior que H4 e H1.

🏆 Gabarito: D — H4 é o único hotel cuja soma "diária + custo de táxi" resulta no menor valor total (R$ 199,75), superando inclusive a opção de diária mais barata (H1) e a de menor distância (H5).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas H4 minimiza a soma diária + táxi; todo outro hotel perde em pelo menos um dos dois fatores de forma que o total supera R$ 199,75.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora comparar "planos" ou "opções" com uma parte fixa e uma parte variável (táxi, plano de celular, conta de água/luz, aluguel de carro) — a tarefa quase sempre é montar uma função afim para cada opção e comparar valores para uma condição dada (aqui, cada distância específica).
• Generalização: sempre que houver "taxa fixa + valor por unidade", escreva explicitamente f(x) = ax + b antes de qualquer cálculo; isso evita erros de montagem e permite reaproveitar a mesma fórmula para todas as opções, mudando só a variável.
• Dica de eliminação rápida: desconfie sempre da alternativa que representa "o mais barato isoladamente" (aqui, H1 pela diária, ou H5 pela distância) — o ENEM costuma incluir essas armadilhas propositalmente; calcule sempre o total antes de decidir.
• Conexões: problemas de tarifa de táxi/aplicativo, planos de telefonia com franquia + excedente e problemas de "custo-benefício" entre pacotes de serviços seguem exatamente a mesma lógica de função afim comparada ponto a ponto.