Questão 153 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (classificação de triângulos), Teorema de Pitágoras e Lei dos Cossenos
• ⚡ Nível: Difícil — exige extrair dados de uma figura técnica, aplicar Pitágoras em um triângulo e a Lei dos Cossenos em outro, e só então classificar ambos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Classificação de triângulos quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo, obtusângulo) e quanto aos lados (escaleno, isósceles, equilátero), usando relações métricas e trigonométricas para completar dados que faltam.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando as medidas do braço do guindaste e do cabo de aço em cada posição, calcule o lado que falta em cada triângulo (T1 e T2) e diga como cada um se classifica quanto aos ângulos e quanto aos lados."
• Palavras-chave decisivas: ângulo reto, 60°, classificados
• Armadilha típica: olhar apenas o ângulo dado em cada posição (90° e 60°) e "chutar" a classificação sem calcular o terceiro lado — ou, pior, assumir automaticamente que um ângulo de 60° "parece" implicar equilátero sem verificar se os dois lados adjacentes a ele são realmente iguais.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar dois triângulos a partir de uma figura técnica, aplicar a ferramenta certa (Pitágoras quando há ângulo de 90°; Lei dos Cossenos quando há outro ângulo) e classificar corretamente cada resultado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Só vale quando há um ângulo de 90°.
• Lei dos Cossenos: generalização de Pitágoras para qualquer triângulo — a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) — permite calcular o lado oposto a um ângulo quando se conhecem os outros dois lados e esse ângulo.
• Classificação quanto aos ângulos: acutângulo (todos os ângulos < 90°), retângulo (um ângulo = 90°), obtusângulo (um ângulo > 90°).
• Classificação quanto aos lados: escaleno (três lados diferentes), isósceles (dois lados iguais), equilátero (três lados iguais — e, nesse caso, os três ângulos valem obrigatoriamente 60°, ou seja, todo equilátero é acutângulo).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o braço de movimentação forma um ângulo reto com o cabo de aço CB" → o triângulo T1 (vértices A, B, C) tem ângulo de 90° no vértice C; a figura mostra AC = 12 m (braço) e CB = 16 m (cabo).
• Evidência 2: "o novo ângulo formado entre o braço e o cabo de aço ED... é agora igual a 60°" → o triângulo T2 (vértices A, D, E) tem ângulo de 60° no vértice E; a figura mostra AE = 12 m (mesmo braço, apenas girado) e ED = 12 m (cabo, agora vertical e mais curto, pois o operador recolheu parte do cabo ao erguer o braço).
• Síntese: em cada posição, dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos — falta apenas o terceiro lado. Como em T1 o ângulo é reto, usa-se Pitágoras; como em T2 o ângulo não é reto, usa-se a Lei dos Cossenos. Só depois de calcular esse terceiro lado é possível classificar os dois triângulos com segurança.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Triângulo T1 (posição 1)

Os vértices são A (topo do pilar), C (extremidade do braço) e B (esfera metálica). Da figura: AC = 12 m (braço, na horizontal) e CB = 16 m (cabo, na vertical), com ângulo reto entre eles no vértice C (∠ACB = 90°).

Como há um ângulo reto, o lado AB (que liga A diretamente a B) é a hipotenusa do triângulo retângulo ACB. Pelo Teorema de Pitágoras:

AB² = AC² + CB² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

AB = √400 = 20 m

Os três lados de T1 são, portanto, 12 m, 16 m e 20 m — todos diferentes entre si → escaleno. Como há um ângulo de 90° (em C) → retângulo. Logo, T1 é retângulo escaleno (note ainda que 12-16-20 é o triplo pitagórico 3-4-5 multiplicado por 4, o que confirma rapidamente a conta).

Subpasso 4.2 — Triângulo T2 (posição 2)

Os vértices agora são A (mesmo topo do pilar), E (nova extremidade do braço, já inclinado) e D (esfera metálica). Da figura: AE = 12 m (o braço tem o mesmo comprimento físico de antes, apenas girou) e ED = 12 m (o cabo, agora vertical, ficou mais curto porque parte dele foi recolhida), com ângulo de 60° entre eles no vértice E (∠AED = 60°).

Como o ângulo entre os dois lados conhecidos não é reto, usa-se a Lei dos Cossenos para achar o terceiro lado, AD:

AD² = AE² + ED² − 2 · AE · ED · cos(60°)

AD² = 12² + 12² − 2 · 12 · 12 · (1/2)

AD² = 144 + 144 − 144 = 144

AD = √144 = 12 m

Subpasso 4.3 — Verificação e classificação de T2

Os três lados de T2 valem AE = 12 m, ED = 12 m e AD = 12 m — os três são iguais → equilátero. Todo triângulo equilátero tem, por definição geométrica, os três ângulos internos iguais a 60° (180° ÷ 3), e como 60° < 90°, ele é necessariamente acutângulo. Isso é coerente com o dado do próprio enunciado: o ângulo de 60° em E não era coincidência — é a "assinatura" de um triângulo equilátero quando os dois lados adjacentes já são iguais. Logo, T2 é acutângulo equilátero.

Reunindo os dois resultados: T1 = retângulo escaleno e T2 = acutângulo equilátero, o que corresponde exatamente à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) retângulo escaleno e retângulo isósceles.

❌ Incorreta: acerta T1 (retângulo escaleno, confirmado pelo cálculo de Pitágoras), mas erra T2. O triângulo T2 não tem nenhum ângulo de 90° — o ângulo dado é 60° e, ao calcular AD pela Lei dos Cossenos, obtém-se AD = 12 m, igual aos outros dois lados, caracterizando um equilátero, não um retângulo isósceles.

B) acutângulo escaleno e retângulo isósceles.

❌ Incorreta: erra os dois triângulos. T1 tem ângulo reto explícito no enunciado (90° em C) e lados 12, 16, 20 todos diferentes, logo é retângulo escaleno — nunca acutângulo. E T2, como visto, é equilátero (logo acutângulo), não retângulo isósceles.

C) retângulo escaleno e acutângulo escaleno.

❌ Incorreta: acerta T1, mas erra a classificação de lados de T2. Ao aplicar a Lei dos Cossenos com AE = ED = 12 m e ângulo de 60°, chega-se a AD = 12 m — ou seja, os três lados de T2 são iguais, o que o torna equilátero, e não escaleno.

D) acutângulo escaleno e acutângulo equilátero.

❌ Incorreta: acerta T2 (acutângulo equilátero), mas erra T1. O enunciado afirma explicitamente que o braço forma "ângulo reto" com o cabo CB na posição 1, o que torna T1 um triângulo retângulo, não acutângulo — mesmo que a parte "escaleno" (lados 12, 16 e 20 diferentes) esteja correta, a classificação angular invalida a alternativa.

E) retângulo escaleno e acutângulo equilátero.

✅ Correta: T1 tem ângulo reto em C (dado no enunciado) e, por Pitágoras, lados 12 m, 16 m e 20 m, todos diferentes → retângulo escaleno. T2, calculado pela Lei dos Cossenos a partir de AE = ED = 12 m e ângulo de 60° entre eles, resulta em AD = 12 m, ou seja, os três lados são iguais → equilátero — e, sendo equilátero, todos os ângulos valem 60°, portanto é acutângulo. Essa é exatamente a combinação retângulo escaleno + acutângulo equilátero.

🏆 Gabarito: E — T1 é retângulo escaleno (ângulo de 90° dado e lados 12-16-20 obtidos por Pitágoras) e T2 é acutângulo equilátero (Lei dos Cossenos revela que AD = 12 m = AE = ED, e todo triângulo equilátero é acutângulo).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E reúne simultaneamente a classificação angular correta de T1 (retângulo, pois o enunciado dá um ângulo de 90°) e a classificação de T2 obtida pelo cálculo (equilátero, logo acutângulo, pois a Lei dos Cossenos mostrou que os três lados são iguais a 12 m). Qualquer outra combinação contraria pelo menos um dos dois resultados numéricos obtidos.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir geometria em situações de engenharia e do cotidiano (guindastes, rampas, escadas, antenas, telhados) e pedir que o aluno extraia triângulos de uma figura técnica, complete o lado ou ângulo que falta com Pitágoras, Lei dos Cossenos ou Lei dos Senos, e só depois responda à pergunta de classificação ou comparação.
• Generalização: sempre que dois lados de um triângulo forem iguais e o ângulo entre eles for de 60°, o triângulo é necessariamente equilátero (e, portanto, acutângulo) — é um atalho útil que evita desenvolver a Lei dos Cossenos por extenso quando o resultado já pode ser antecipado.
• Dica de eliminação rápida: primeiro confira a classificação angular de T1, que é dada diretamente pelo enunciado ("ângulo reto") — isso já elimina as alternativas B e D, que colocam T1 como acutângulo. Em seguida, lembre-se de que dois lados iguais com ângulo de 60° só pode gerar um triângulo equilátero, o que elimina A e C, deixando apenas E.
• Conexões: casos de congruência e semelhança de triângulos, Lei dos Senos, e outros problemas de guindastes/rampas/telhados que combinam trigonometria no triângulo retângulo com classificação de figuras planas.