Questão 170 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (Função Afim aplicada a Economia/Finanças)
• ⚡ Nível: Fácil — basta traduzir uma situação de custo e receita em uma expressão algébrica de 1º grau, sem exigir manipulações complexas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de lucro (Receita − Custo) por meio de função afim — competência de área 5 (H21), que pede resolver situação-problema envolvendo conhecimentos de economia/finanças com uso de porcentagens, juros e/ou funções.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a expressão algébrica que dá o lucro L do produtor em função do número x de sacas de soja vendidas."
• Palavras-chave decisivas: R$ 1 200,00 por hectare, 10 hectares, R$ 50,00 cada saca
• Armadilha típica: esquecer de multiplicar o custo "por hectare" pelo número de hectares plantados (10), usando R$ 1.200 como se já fosse o custo total — ou inverter o sinal, somando o custo em vez de subtraí-lo do lucro.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar L(x) = Receita(x) − Custo total, identificando corretamente qual valor é fixo (não depende de x) e qual é variável (multiplica x).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (polinomial do 1º grau): toda função da forma f(x) = ax + b, em que a é a taxa de variação (quanto a função muda a cada unidade de x) e b é o termo constante (valor independente de x).
• Lucro = Receita − Custo: conceito básico de economia — o lucro é o que resta da receita total depois de descontados todos os custos de produção.
• Custo unitário × quantidade = custo total: quando um valor é dado "por unidade" (aqui, por hectare), é preciso multiplicá-lo pela quantidade de unidades efetivamente utilizadas para obter o custo total do empreendimento.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "um produtor gastava R$ 1 200,00 por hectare plantado" → é um custo unitário; sozinho não representa o gasto total, precisa ser multiplicado pela área plantada.
• Evidência 2: "vendia por R$ 50,00 cada saca de 60 kg" → é o preço unitário de venda, que se multiplica por x (número de sacas) para gerar a receita.
• Evidência 3: "ele plantou 10 hectares de soja em sua propriedade, na qual colheu x sacas... e todas as sacas foram vendidas" → fixa a área em 10 hectares (custo total é constante) e define x como a variável de interesse (quantidade vendida).
• Síntese: a função lucro terá um termo variável (50x, vindo da venda das sacas) e um termo fixo negativo (o custo total da lavoura, calculado a partir dos 10 hectares), pois o custo já foi gasto independentemente de quantas sacas o produtor conseguir vender.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Cálculo do custo total de produção

O enunciado informa o custo por hectare: R$ 1.200,00. Como o produtor plantou 10 hectares, o custo total é:

Custo total = 1 200 × 10 = R$ 12 000,00

Esse valor é fixo: não importa quantas sacas x sejam vendidas, o produtor já gastou R$ 12.000,00 para plantar toda a área. Por isso ele entra na função como uma constante, e não multiplicando x.

Subpasso 4.2 — Cálculo da receita total obtida com a venda

Cada saca de 60 kg é vendida por R$ 50,00, e o produtor vende x sacas. A receita, portanto, cresce proporcionalmente a x:

Receita(x) = 50 · x = 50x

Esse é o termo variável da função — depende diretamente de quantas sacas forem vendidas.

Subpasso 4.3 — Montagem da função lucro e verificação

Lucro é receita menos custo:

L(x) = Receita(x) − Custo total

L(x) = 50x − 12 000

Comparando com as alternativas, essa expressão é idêntica à alternativa B. O coeficiente angular (50) reflete o ganho por saca vendida, e o termo constante (−12 000) reflete o investimento fixo já realizado nos 10 hectares.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) L(x) = 50x – 1 200

❌ Incorreta: usa apenas o custo de um único hectare (R$ 1.200,00) como se fosse o custo total da lavoura, ignorando que o produtor plantou 10 hectares. Esquece de multiplicar o custo unitário pela área total.

B) L(x) = 50x – 12 000

✅ Correta: representa exatamente Receita(x) − Custo total, com receita 50x (preço da saca vezes quantidade vendida) e custo total 12 000 (R$ 1.200 por hectare × 10 hectares).

C) L(x) = 50x + 12 000

❌ Incorreta: mantém a receita correta, mas trata o custo como se fosse somado ao lucro, quando na verdade o custo deve ser subtraído. Inverte o sinal da operação econômica lucro = receita − custo.

D) L(x) = 500x – 1 200

❌ Incorreta: troca os valores de posição — multiplica o preço da saca por um fator 10 indevido (usa 500 em vez de 50) e usa o custo de apenas 1 hectare (1 200) em vez do custo total. Mistura os dados numéricos sem lógica de unidade × quantidade coerente com o enunciado.

E) L(x) = 1 200x – 500

❌ Incorreta: inverte completamente os papéis das grandezas — usa o custo por hectare (1 200) como se fosse o coeficiente de x (que deveria ser o preço de venda da saca, 50) e emprega o valor 500, que não corresponde a nenhum dado fornecido no enunciado.

🏆 Gabarito: B — L(x) = 50x − 12 000 é a única expressão que traduz corretamente lucro = receita total (50x) menos o custo total de produção nos 10 hectares (1 200 × 10 = 12 000).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única alternativa em que o coeficiente de x é o preço unitário de venda (50) e o termo constante é o custo total corretamente calculado (12 000), com sinal negativo por representar uma despesa.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra modelagem de função afim em contextos de custo, receita e lucro — normalmente fornecendo um valor "por unidade" (por hectare, por peça, por hora) que precisa ser multiplicado por uma quantidade dada em outra parte do texto.
• Generalização: sempre que o problema fornecer um custo ou preço "por unidade" junto de uma quantidade de unidades, calcule primeiro o valor total antes de montar a função; o termo constante da função afim, em problemas de lucro, quase sempre é o custo fixo total, com sinal negativo.
• Dica de eliminação rápida: confira o coeficiente de x — ele deve ser exatamente o preço unitário de venda (50), o que já elimina D e E, que usam 500 e 1.200 nesse lugar; em seguida, confira o sinal do termo constante — deve ser negativo, pois representa custo, o que elimina C.
• Conexões: esse tipo de questão se conecta a problemas de ponto de equilíbrio (break-even, onde L(x) = 0), função custo total e função receita, temas frequentes em Matemática Financeira e Funções no ENEM.