Questão 173 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Trigonometria aplicada ao Movimento Circular Uniforme (MCU) e leitura de gráficos de funções periódicas
• ⚡ Nível: Difícil — não exige contas, mas exige traduzir uma situação geométrica (vista superior + duas paredes) em um raciocínio abstrato sobre projeção de movimento circular, algo que foge do treino mecânico de fórmulas
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer o gráfico que representa uma grandeza periódica (distância) gerada por um ponto em movimento circular uniforme
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que, no instante T, a criança P está no ponto do círculo mais próximo da Parede I, e que o brinquedo gira com velocidade angular constante no sentido anti-horário por várias voltas, qual gráfico representa corretamente D(t)?"
• Palavras-chave decisivas: velocidade constante, sentido anti-horário, várias voltas, distância D até a parede I
• Armadilha típica: achar que, como a trajetória de P é um círculo, o gráfico também deveria "parecer" um círculo (alternativa A); ou esquecer que D é uma função de t — logo, para cada instante só pode existir um único valor de distância, nunca vários ao mesmo tempo (alternativa B).
• O que a resposta precisa demonstrar: que D(t) é uma função periódica e suave (formato de cosseno), e que — por causa da posição de P mostrada na figura — ela começa exatamente no seu valor mínimo no instante T.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Movimento Circular Uniforme (MCU): o ângulo percorrido cresce linearmente com o tempo, θ(t) = θ₀ + ωt, com velocidade angular ω constante, já que o brinquedo "gira continuamente... e velocidade constante".
• Projeção de um MCU sobre um eixo fixo: se um ponto descreve um círculo de raio r, a coordenada desse ponto ao longo de qualquer direção fixa (aqui, a direção perpendicular à parede) varia no tempo como uma função seno/cosseno — essa é a base do Movimento Harmônico Simples.
• Distância de um ponto a uma reta fixa: como a parede é uma reta fixa na vista superior, D(t) nada mais é do que a coordenada de P ao longo do eixo perpendicular à parede, somada à distância fixa do centro O até essa parede.
• Extremos de uma função periódica suave: os valores máximo e mínimo de D ocorrem exatamente quando o deslocamento de P é puramente radial (para dentro ou para fora em relação à parede) — fisicamente, quando P está no ponto do círculo mais próximo ou mais distante da parede.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: a figura mostra P exatamente sobre a reta que liga O à Parede I, do lado voltado para a parede → no instante T, P ocupa o ponto do círculo com a MENOR distância possível até a Parede I; logo D(T) é o valor mínimo de toda a função.
• Evidência 2: "girando continuamente... e velocidade constante por várias voltas" → o gráfico precisa ser periódico (repetir o padrão a cada volta) e ter formato suave/arredondado nos picos e vales — nunca "bicos" nem segmentos retos, já que a velocidade angular não muda bruscamente.
• Evidência 3: "Seja D a distância de P até a parede I", com a Parede I perpendicular à direção que liga P a O na figura → D depende apenas da componente do movimento de P ao longo dessa direção (aproximando/afastando da parede), não do movimento "lateral" de P.
• Síntese: juntando as três evidências, o gráfico correto deve ser uma curva contínua, periódica e suave (tipo cosseno) que, em t = T, esteja exatamente no seu ponto de mínimo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando um sistema de referência

Considere um eixo x perpendicular à Parede I, apontando da parede em direção ao brinquedo. Seja d a distância entre a Parede I e o centro O do círculo, e r o raio da trajetória de P. Como o brinquedo está apenas "nas proximidades" das paredes (sem tocá-las), d > r.

A distância de qualquer ponto do círculo até a Parede I é a própria coordenada x desse ponto:

D(θ) = d + r · cos θ,

onde θ é o ângulo da posição de P em relação a O, medido a partir da direção que aponta para longe da parede.

Subpasso 4.2 — Usando a posição inicial e o sentido de rotação

A figura mostra P exatamente no ponto do círculo mais próximo da Parede I no instante T, ou seja, θ(T) = 180°. Substituindo:

D(T) = d + r · cos(180°) = d − r,

que é o menor valor possível de D, pois cos θ ≥ −1 para qualquer θ. Ou seja, em t = T a função já começa no seu valor mínimo.

Como ω é constante e o giro é anti-horário (θ crescendo com o tempo), para t ≥ T:

θ(t) = 180° + ω(t − T) ⟹ D(t) = d − r · cos[ω(t − T)]

Subpasso 4.3 — Verificação do comportamento ao longo do tempo

• Em t = T: ω(t−T) = 0° → D = d − r (mínimo) ✓, coincidindo com a posição de P na figura.
• Um quarto de volta depois: ω(t−T) = 90° → D = d − r·cos 90° = d (valor intermediário, P "de lado" em relação à parede).
• Meia volta depois: ω(t−T) = 180° → D = d − r·cos 180° = d + r (máximo — P no ponto do círculo mais distante da parede).
• Uma volta completa depois: D retorna a d − r (mínimo de novo), e o padrão se repete indefinidamente com período igual ao da rotação do brinquedo.

Conclusão da análise: o gráfico correto deve ser (1) uma curva contínua e periódica, (2) com formato suave e arredondado (tipo cosseno, pois a taxa de variação de D é nula exatamente nos extremos) e (3) começando, em t = T, exatamente no seu valor mínimo — não em um patamar intermediário e não no máximo.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Gráfico em que aparece um círculo desenhado sobre os eixos D × t, a partir de T

❌ Incorreta: confunde a trajetória espacial de P (que de fato é um círculo, no plano físico) com o gráfico de D em função de t. Um círculo sobre os eixos D×t não é o gráfico de uma função — para a maioria dos instantes t existiriam dois valores de D (ou nenhum), o que é fisicamente impossível: em cada instante a criança ocupa uma única posição e, portanto, está a uma única distância da parede.

B) Gráfico em que aparece apenas um segmento vertical em t = T

❌ Incorreta: pela mesma razão da alternativa A, viola a definição de função — em um único instante t = T, D assumiria infinitos valores simultaneamente, o que não corresponde à realidade (a distância da criança à parede é sempre um número único a cada instante).

C) Curva periódica e suave que começa exatamente no valor mínimo em t = T, sobe até um máximo, desce a um novo mínimo e repete o padrão

✅ Correta: é exatamente o comportamento obtido no Subpasso 4.2/4.3 — D(T) = d − r é o mínimo da função, e D(t) oscila de forma suave (sem bicos) e periódica entre esse mínimo e o máximo d + r, repetindo o ciclo a cada volta do brinquedo.

D) Curva com a mesma forma ondulatória de C, mas partindo de um patamar intermediário (mais alto que os vales seguintes) em t = T

❌ Incorreta: o valor inicial não coincide com o mínimo da curva — ela já sobe direto para o primeiro pico sem antes passar pelo vale. Isso corresponderia a P começando em uma posição diferente da mostrada na figura (não exatamente no ponto mais próximo da parede), o que contradiz o enunciado.

E) Curva formada por um único arco (meia oscilação), sem se repetir

❌ Incorreta: contradiz a informação de que o brinquedo "gira continuamente... por várias voltas" — esse comportamento periódico exige um padrão que se repita enquanto o tempo passa, e não apenas um evento isolado que termina após um único arco.

🏆 Gabarito: C — é a única alternativa em que D(t) é, ao mesmo tempo, uma função bem definida (elimina A e B), periódica ao longo de várias voltas (elimina E) e começa exatamente no seu valor mínimo em t = T, exatamente como exige a posição inicial de P mostrada na figura (elimina D).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única opção compatível simultaneamente com três exigências do enunciado: (i) D deve ser função de t, o que elimina A e B; (ii) o movimento é contínuo por várias voltas, logo o gráfico deve ser periódico, o que elimina E; (iii) P parte do ponto mais próximo da parede, logo D deve partir do seu valor mínimo, o que elimina D.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de testar a leitura qualitativa de gráficos de fenômenos periódicos (MCU, MHS, marés, estações do ano) pedindo para reconhecer a FORMA da curva — periodicidade, suavidade e fase inicial — sem exigir nenhum cálculo numérico de amplitude ou período.
• Generalização: sempre que um ponto gira com velocidade angular constante, a projeção da sua posição sobre qualquer direção fixa é uma função do tipo seno/cosseno: extremos suaves (nunca "bicos"), período constante, e o ponto em que a curva "começa" é determinado pela posição angular inicial do ponto em relação a essa direção.
• Dica de eliminação rápida: primeiro descarte qualquer gráfico que não seja de fato uma função de t (formas soltas, segmentos verticais) — isso elimina boa parte das alternativas em segundos; depois compare apenas o valor inicial em T com os extremos (picos e vales) que aparecem mais adiante na curva.
• Conexões: a mesma lógica aparece em questões sobre Movimento Harmônico Simples (mola, pêndulo), variação da maré ao longo do dia e translação da Terra representada por um gráfico senoidal ao longo do ano.