Questão 166 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Conjuntos numéricos e Princípio da Inclusão-Exclusão
• ⚡ Nível: Médio — exige perceber que múltiplos de 4 e números terminados em 4 se sobrepõem em alguns casos, e que essa sobreposição não pode ser contada duas vezes
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de elementos em conjuntos com interseção (Inclusão-Exclusão) aplicada a uma sequência numérica — competência de resolver situações-problema por meio do raciocínio combinatório/lógico
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Contando de 1 até 103, quantas vezes a palavra GOL substituiu um número, sabendo que ela substitui múltiplos de 4 ou números terminados em 4?"
• Palavras-chave decisivas: múltiplos de 4, terminados em 4, até o número 103
• Armadilha típica: somar diretamente "quantidade de múltiplos de 4" + "quantidade de terminados em 4" sem descontar os números que pertencem às duas categorias ao mesmo tempo (como 4, 24, 44, 64, 84) — isso gera contagem duplicada e leva ao erro de marcar a alternativa D (35).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar dois critérios de substituição, contar cada grupo corretamente e aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão para não contar duas vezes os números que satisfazem ambos os critérios.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Múltiplos de 4: números que resultam de 4 × k, com k natural (4, 8, 12, 16, 20, 24...). Para contar quantos múltiplos de 4 existem entre 1 e N, basta calcular ⌊N ÷ 4⌋ (parte inteira da divisão).
• Números terminados em 4: números cujo algarismo das unidades é 4 (4, 14, 24, 34, 44...). Eles sempre aparecem em intervalos de 10 em 10.
• Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE): quando dois conjuntos A e B têm elementos em comum, o total de elementos da união é |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Sem subtrair a interseção, os elementos comuns aos dois conjuntos são contados em dobro.
• Interseção A ∩ B (neste problema): números que são simultaneamente múltiplos de 4 e terminados em 4 — ou seja, números da forma 10k + 4 que também são divisíveis por 4.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "trocando os múltiplos de 4 e os números terminados em 4 pela palavra GOL" → define dois critérios independentes e não excludentes de substituição — logo, existe a possibilidade de sobreposição entre eles.
• Evidência 2: o exemplo dado — "..., 11, GOL, 13, GOL, 15, GOL, 17, ..." → mostra 12 (múltiplo de 4) virando GOL, 14 (terminado em 4) virando GOL e 16 (múltiplo de 4) virando GOL: três GOLs consecutivos com origens diferentes, confirmando que os dois critérios atuam separadamente e devem ser tratados com cuidado quando coincidem.
• Evidência 3: "conseguiu falar até o número 103, respeitando as regras" → o intervalo de contagem é fechado, de 1 a 103 (inclusive), e o número 103 foi dito corretamente como "103" (não é GOL, pois não é múltiplo de 4 nem termina em 4).
• Síntese: o problema pede |A ∪ B| para A = múltiplos de 4 entre 1 e 103, e B = terminados em 4 entre 1 e 103. A ferramenta certa é o Princípio da Inclusão-Exclusão, pois A e B compartilham elementos (como 4, 24, 44, 64 e 84).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar os múltiplos de 4 entre 1 e 103

Os múltiplos de 4 no intervalo são 4, 8, 12, ..., até o maior múltiplo de 4 que não ultrapasse 103.

Como 4 × 25 = 100 ≤ 103 e 4 × 26 = 104 > 103, o maior múltiplo de 4 dentro do intervalo é 100.

Quantidade: ⌊103 ÷ 4⌋ = 25 múltiplos de 4.

Chamando esse conjunto de A: |A| = 25.

Subpasso 4.2 — Contar os números terminados em 4 entre 1 e 103

Os números terminados em 4 formam a sequência 4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94, ... com passo 10.

O próximo seria 104, que já ultrapassa 103, então o último termo válido é 94.

Quantidade: (94 − 4) ÷ 10 + 1 = 90 ÷ 10 + 1 = 9 + 1 = 10 números.

Chamando esse conjunto de B: |B| = 10.

Subpasso 4.3 — Encontrar a interseção A ∩ B (contados nos dois grupos)

Preciso descobrir quais dos 10 números terminados em 4 (4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94) também são múltiplos de 4:

• 4 ÷ 4 = 1 ✅ múltiplo
• 14 ÷ 4 = 3,5 ❌
• 24 ÷ 4 = 6 ✅ múltiplo
• 34 ÷ 4 = 8,5 ❌
• 44 ÷ 4 = 11 ✅ múltiplo
• 54 ÷ 4 = 13,5 ❌
• 64 ÷ 4 = 16 ✅ múltiplo
• 74 ÷ 4 = 18,5 ❌
• 84 ÷ 4 = 21 ✅ múltiplo
• 94 ÷ 4 = 23,5 ❌

Interseção: A ∩ B = {4, 24, 44, 64, 84}, com |A ∩ B| = 5.

(Repare no padrão: a cada dois números terminados em 4, um é múltiplo de 4 — isso ocorre porque, entre números que terminam em 4, eles se alternam entre "múltiplo de 4" e "não múltiplo de 4" a cada salto de 10 unidades, já que 10 não é múltiplo de 4.)

Subpasso 4.4 — Aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 25 + 10 − 5 = 30.

Subpasso 4.5 — Verificação

Confiro com o próprio exemplo do enunciado até o 25: as posições 4, 8, 12, 14, 16, 20 e 24 viram GOL, totalizando 7 GOLs.

Pelo método: múltiplos de 4 até 25 → ⌊25/4⌋ = 6; terminados em 4 até 25 → {4,14,24} = 3; interseção → {4,24} = 2. União = 6 + 3 − 2 = 7 ✅. Bate com o exemplo, confirmando o método. Aplicando o mesmo raciocínio até 103, o resultado é 30.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 20.

❌ Incorreta: esse valor ficaria muito abaixo até mesmo da contagem isolada de múltiplos de 4 (25) somada aos terminados em 4 sem sobreposição — não corresponde a nenhuma combinação coerente dos critérios do problema; é resultado de subestimar um dos dois grupos.

B) 28.

❌ Incorreta: aparece se o candidato calcular corretamente |A| + |B| = 35, mas subtrair uma interseção errada de 7 elementos comuns em vez dos 5 reais — ou se contar apenas parte dos múltiplos de 4 no intervalo. É um erro de subtração mal ajustada, não de método.

C) 30.

✅ Correta: é exatamente o resultado do Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado aos dois critérios do problema: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 25 + 10 − 5 = 30. Esse valor representa o total de números entre 1 e 103 que são múltiplos de 4 ou terminam em 4, sem contar duplicidade.

D) 35.

❌ Incorreta: é a soma direta e ingênua 25 + 10 = 35, sem descontar a interseção. Essa é a armadilha central da questão — quem esquece que 4, 24, 44, 64 e 84 pertencem simultaneamente aos dois grupos conta esses cinco números duas vezes, inflando o resultado.

E) 40.

❌ Incorreta: valor superestimado, superior até mesmo à soma bruta sem desconto (35). Surge de erros de contagem nos grupos individuais, como incluir indevidamente o número 104 (fora do intervalo, pois o limite é 103) ou contar mal os múltiplos de 4.

🏆 Gabarito: C — o total de GOLs é 30, obtido pela soma dos múltiplos de 4 (25) com os terminados em 4 (10), subtraindo a interseção de números que satisfazem ambos os critérios (5), conforme o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C (30) resulta da aplicação completa e correta do Princípio da Inclusão-Exclusão; qualquer outro valor implica erro de contagem em pelo menos um dos três números-chave (25 múltiplos de 4, 10 terminados em 4, 5 na interseção).
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente veste questões de Inclusão-Exclusão com contextos lúdicos (brincadeiras, jogos, calendários, sorteios) para disfarçar um problema de contagem de conjuntos — o desafio real está em identificar os dois (ou mais) critérios de seleção e verificar se eles se sobrepõem.
• Generalização: sempre que um problema pedir "quantos números satisfazem a condição X ou a condição Y", desconfie de interseção. A fórmula |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| deve ser o primeiro instinto, mesmo que a interseção acabe sendo zero em algum caso.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a soma "ingênua" das duas contagens (aqui, 35) — ela sempre será a resposta errada mais tentadora (alternativa D) e também um teto: qualquer alternativa acima dela (como 40) pode ser descartada de imediato, pois a união nunca é maior que a soma das partes.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "quantos números de 1 a N são múltiplos de 3 ou de 5" (clássico de Análise Combinatória) e em questões de probabilidade que pedem P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).