Questão 140 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Permutação simples com elementos agrupados em bloco)
• ⚡ Nível: Médio — exige transformar três letras fixas em um único "objeto" de contagem e, ainda, descontar um caso específico já utilizado
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de anagramas com restrição de ordem (bloco fixo) — Competência de área 7, habilidade de resolver situações-problema com raciocínio combinatório
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos e-mails diferentes é possível formar reorganizando as letras de EDUARDO, mantendo E-D-U sempre juntas e nessa ordem, sabendo que um desses arranjos (eduardo) já está ocupado?"
• Palavras-chave decisivas: "sempre juntas e exatamente nessa ordem", "já foi criado por outro usuário", "sete letras"
• Armadilha típica: calcular apenas 5! = 120 e esquecer de subtrair o e-mail "eduardo@site.com.br", que o próprio enunciado avisa estar indisponível — ou, no sentido oposto, dividir por 2! imaginando que ainda há letras repetidas entre os elementos a permutar depois de formar o bloco.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da técnica do "bloco fixo" em permutações e atenção à condição de exclusão dada no texto (o e-mail já cadastrado não pode ser recontado).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Permutação simples (n!): número de maneiras de organizar n objetos distintos em uma fila, calculado por n! = n×(n-1)×...×1.
• Princípio do agrupamento (bloco fixo): quando um conjunto de elementos deve aparecer sempre junto e em ordem interna fixa, ele passa a valer como um único objeto na contagem — sua ordem interna não gera multiplicações extras, pois já está travada.
• Contagem com exclusão: quando o enunciado informa que um resultado específico do total já está indisponível (usado, proibido, repetido), o total geral deve ser diminuído exatamente do número de casos excluídos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "as sete letras que compõem o seu nome" → o nome é EDUARDO, ou seja, as letras E, D, U, A, R, D, O — repare que a letra D aparece duas vezes.
• Evidência 2: "as três letras 'edu' apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem" → E, D, U formam um bloco indivisível; o que resta livre para embaralhar são as letras A, R, D, O.
• Evidência 3: "eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário" → o arranjo que produz literalmente a palavra "eduardo" (bloco EDU seguido de A, R, D, O nessa ordem específica) é um dos casos válidos, mas deve ser descontado do total, pois já está ocupado.
• Síntese: o problema pede o total de permutações do conjunto {bloco EDU, A, R, D, O} menos exatamente 1 arranjo (o que forma "eduardo").

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar as letras e isolar o bloco fixo

O nome EDUARDO tem 7 letras: E, D, U, A, R, D, O. O enunciado exige que E, D e U apareçam sempre juntas e nessa ordem exata, então esse trio vira um bloco único: [EDU].

Ao retirar E, D e U do conjunto original, sobram as letras: A, R, D, O.

Ponto-chave: como o nome tinha duas letras D e uma delas já foi "consumida" dentro do bloco [EDU], a letra D que sobra fora do bloco é única — ou seja, as 4 letras livres (A, R, D, O) são todas distintas entre si, sem nenhuma repetição a mais para se preocupar.

Subpasso 4.2 — Contar as permutações do bloco com as letras restantes

Agora o problema se resume a organizar em fila 5 objetos: o bloco [EDU] + as letras A, R, D e O.

Como todos esses 5 objetos são distintos (o bloco é um "item" só, e as 4 letras livres não se repetem), o número de arranjos possíveis é uma permutação simples de 5 elementos:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Cada um desses 120 arranjos representa uma posição possível do bloco [EDU] combinada com uma ordem diferente das letras A, R, D, O — sempre respeitando E-D-U junto e na ordem correta.

Subpasso 4.3 — Descontar o e-mail já cadastrado (verificação)

Dentre esses 120 arranjos está exatamente aquele em que o bloco [EDU] vem primeiro, seguido de A, R, D, O na ordem "ARDO" — isto é, o arranjo que forma a palavra eduardo. O enunciado deixa claro que esse e-mail específico já foi criado por outro usuário e, portanto, não está mais disponível para Eduardo.

Logo, deve-se excluir exatamente 1 caso do total:

120 − 1 = 119

Verificação: 119 está entre as alternativas oferecidas (opção D) e é compatível com o raciocínio: total de arranjos possíveis menos o único caso já ocupado. O resultado confere.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 59

❌ Incorreta: esse valor surge de um duplo erro — dividir 120 por 2 (como se ainda houvesse uma repetição de letra entre os 5 objetos a permutar, algo que só valeria se a segunda letra D não tivesse sido "absorvida" corretamente) e, em seguida, subtrair 1 (120÷2 − 1 = 59). O erro conceitual é tratar as letras livres A, R, D, O como se contivessem repetição, quando na verdade são todas distintas após o bloco EDU ser formado.

B) 60

❌ Incorreta: resulta de calcular 5!/2! = 60, aplicando indevidamente uma correção por letra repetida. Esse raciocínio faria sentido se ainda houvesse duas letras D entre os elementos livres, mas uma das duas letras D já foi utilizada dentro do bloco [EDU], restando apenas uma D solta — não há mais repetição a compensar no cálculo de 5!.

C) 118

❌ Incorreta: equivale a calcular 120 − 2, como se dois e-mails distintos já estivessem cadastrados ou como se o caso "eduardo" tivesse sido contado (e descontado) em duplicidade. O enunciado é claro ao afirmar que apenas um e-mail (o "eduardo@site.com.br") já existe; qualquer outro agrupamento ainda está livre.

D) 119

✅ Correta: 5! = 120 é o total de arranjos possíveis do bloco [EDU] junto com as letras A, R, D, O. Como o único arranjo que reproduz exatamente "eduardo" já está ocupado, subtrai-se 1 desse total: 120 − 1 = 119. Esse valor reflete corretamente tanto a técnica de agrupamento em bloco quanto a condição de exclusão dada no enunciado.

E) 120

❌ Incorreta: é o total bruto de permutações (5!) sem aplicar a exclusão exigida pelo enunciado. Esse valor ignora a informação de que "eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário" — um detalhe essencial para a resposta final, não um mero dado de contexto.

🏆 Gabarito: D — o total de arranjos do bloco [EDU] com as 4 letras restantes é 5! = 120; como um desses arranjos ("eduardo") já está cadastrado, resta 120 − 1 = 119 possibilidades para o novo e-mail de Eduardo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 119 é o único valor coerente com a dupla exigência do enunciado — permutar corretamente o bloco fixo [EDU] com as letras livres A, R, D, O (5! = 120) e depois excluir o único arranjo já ocupado (120 − 1 = 119).
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra anagramas/e-mails/senhas com "letras que devem ficar sempre juntas", testando se o estudante sabe transformar um grupo de letras em um único elemento de contagem — e frequentemente acrescenta uma condição extra de exclusão (um caso já usado, uma letra que não pode iniciar a palavra, etc.) para checar atenção à leitura completa do enunciado.
• Generalização: sempre que um enunciado pedir que um conjunto de k letras/elementos fique sempre junto e numa ordem fixa, "amarre" esses k elementos em um único bloco, permute esse bloco com os elementos restantes usando n! (onde n é o total de objetos após o agrupamento) e, só depois, aplique quaisquer restrições adicionais informadas no texto (exclusões, letras repetidas remanescentes, posições proibidas).
• Dica de eliminação rápida: ao ver "letras sempre juntas e nessa ordem", desconfie de alternativas que sejam múltiplos "redondos" de fatoriais menores (como 60, que sugere divisão indevida por 2!) — primeiro calcule o fatorial "puro" dos objetos após o agrupamento (aqui, 5! = 120) e só então busque na lista a opção que representa esse valor menos os casos excluídos pelo enunciado.
• Conexões: este problema se conecta diretamente com questões de anagramas com letras repetidas (uso da fórmula n!/(p!·q!...)) e com problemas de contagem por exclusão (total menos casos proibidos), ambos temas recorrentes em Análise Combinatória no ENEM.