Questão 163 — ENEM 2020 Digital

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de equações lineares (2 equações e 2 incógnitas)
• ⚡ Nível: Fácil — envolve apenas montar e resolver um sistema linear simples 2×2, sem nenhuma sutileza algébrica extra.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de uma situação-problema por meio de um sistema de equações do 1º grau (Competência de Área 5 / Habilidade H21 do ENEM — resolver problemas com equações e sistemas de equações).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra quantas infrações leves e quantas médias o motorista cometeu e calcule a razão (divisão) entre esses dois números, nessa ordem: leve ÷ média."
• Palavras-chave decisivas: razão, 5 infrações, 17 pontos
• Armadilha típica: inverter a ordem da razão (calcular média/leve em vez de leve/média) ou trocar os pesos de pontuação (usar 4 para leve e 3 para média), o que leva a alternativas como D (5/17) ou E (7/17), que na verdade misturam número de pontos com número de infrações.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um enunciado verbal em duas equações lineares (total de infrações e total de pontos) e resolver o sistema corretamente, respeitando a ordem pedida na razão.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema de equações lineares 2×2: conjunto de duas equações com duas incógnitas que, juntas, descrevem completamente a situação; a solução é o par de valores que satisfaz as duas simultaneamente.
• Método da substituição: isola-se uma variável em uma equação mais simples (geralmente a soma) e substitui-se na outra equação (a mais "pesada", com coeficientes), reduzindo o sistema a uma equação com uma única incógnita.
• Razão entre grandezas: é simplesmente o quociente (a divisão) entre dois valores, mantendo a ordem exigida pelo enunciado — aqui, "razão entre leve e média" significa leve ÷ média, e não o contrário.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Infrações dos tipos leves e médias acrescentam, respectivamente, 3 e 4 pontos" → define os coeficientes (pesos) de cada tipo de infração: leve vale 3 pontos, média vale 4 pontos.
• Evidência 2: "cometeu 5 infrações de trânsito" → fornece a primeira equação: a soma do número de infrações leves com o número de infrações médias é igual a 5.
• Evidência 3: "teve 17 pontos acrescentados" → fornece a segunda equação: a soma ponderada (3 × leves + 4 × médias) é igual a 17.
• Síntese: o enunciado entrega, de forma direta, os dois dados que fecham um sistema 2×2 clássico — uma equação de contagem (quantidade de infrações) e uma equação de "peso" (quantidade de pontos). Basta montar o sistema e resolvê-lo para depois formar a razão pedida.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Definição das variáveis e montagem do sistema

Seja x o número de infrações leves e y o número de infrações médias cometidas pelo motorista.

Como o total de infrações foi 5:

x + y = 5 ... (I)

Como cada infração leve soma 3 pontos e cada infração média soma 4 pontos, totalizando 17 pontos:

3x + 4y = 17 ... (II)

Subpasso 4.2 — Resolução do sistema por substituição

Isolando x na equação (I):

x = 5 − y

Substituindo em (II):

3(5 − y) + 4y = 17

15 − 3y + 4y = 17

15 + y = 17

y = 17 − 15

y = 2

Logo, o número de infrações médias é y = 2.

Voltando em x = 5 − y:

x = 5 − 2

x = 3

Logo, o número de infrações leves é x = 3.

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira o total de infrações: x + y = 3 + 2 = 5 ✓ (bate com o enunciado)

Confira o total de pontos: 3x + 4y = 3(3) + 4(2) = 9 + 8 = 17 ✓ (bate com o enunciado)

Ambas as condições do problema são satisfeitas, então x = 3 (leves) e y = 2 (médias) é a solução correta.

A razão pedida é entre o número de infrações do tipo leve e o número de infrações do tipo média, ou seja:

razão = x / y = 3 / 2

Esse valor corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/4

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma combinação coerente de x e y que satisfaça simultaneamente x + y = 5 e 3x + 4y = 17. Provavelmente resulta de um erro ao tentar "adivinhar" valores sem montar o sistema corretamente.

B) 3/2

✅ Correta: é exatamente x/y = 3/2, obtida ao resolver o sistema x + y = 5 e 3x + 4y = 17, que fornece x = 3 infrações leves e y = 2 infrações médias.

C) 3/4

❌ Incorreta: essa fração reaproveita os números 3 e 4 do enunciado (os pesos de pontuação de cada tipo de infração), mas o candidato confunde "pontos por infração" com "razão entre quantidades de infrações". É um erro clássico de quem não resolve o sistema e apenas copia números soltos do texto.

D) 5/17

❌ Incorreta: essa alternativa surge de misturar diretamente o total de infrações (5) com o total de pontos (17), como se fossem os valores de x e y — mas 5 é a soma x + y e 17 é a soma ponderada 3x + 4y, não os valores individuais de infrações leves e médias.

E) 7/17

❌ Incorreta: mesmo tipo de erro da alternativa D, combinando de forma indevida dados globais do problema (como 17, o total de pontos) sem de fato isolar x e y através do sistema de equações.

🏆 Gabarito: B — a resolução do sistema x + y = 5 e 3x + 4y = 17 fornece x = 3 infrações leves e y = 2 infrações médias, e a razão pedida x/y é igual a 3/2.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única solução que satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado (5 infrações no total e 17 pontos acrescentados) é x = 3 e y = 2, o que torna a razão leve/média igual a 3/2, alternativa B.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente propõe problemas de "duas grandezas com pesos diferentes somando um total conhecido", que sempre se resolvem com um sistema 2×2 do tipo "soma de quantidades" + "soma ponderada". Esse padrão aparece em contextos de pontos de multa, preços de produtos, votos em urnas, moedas de valores diferentes, entre outros.
• Generalização: sempre que o enunciado der (1) o número total de itens e (2) um total "pesado" por valores diferentes atribuídos a cada tipo de item, monte duas equações lineares — uma de soma simples e outra de soma ponderada — e resolva por substituição ou adição.
• Dica de eliminação rápida: ao ver alternativas que reaproveitam números "crus" do enunciado (como 5, 17, 3 e 4) sem que eles tenham passado por nenhum cálculo, desconfie — normalmente são armadilhas para quem tenta "montar" a resposta por intuição em vez de resolver o sistema. Sempre teste a solução encontrada nas duas equações originais antes de marcar a alternativa.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a problemas de mistura (por exemplo, quantidades de dois produtos com preços diferentes somando um valor total) e a problemas de contagem de moedas ou cédulas de valores distintos somando um total em dinheiro.