Questão 180 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Geometria plana → ângulo inscrito e comprimento de arco em radianos
• Habilidade: H12 — resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas
• Nível: Médio — a fórmula do arco é simples; a dificuldade está em perceber que o ângulo dado não é o ângulo central
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: qual o comprimento do arco percorrido de P até Q sobre a circunferência interna, de raio 0,3 km.
• Palavras-chave decisivas: circunferência interna, raio 0,3 km, RP é um diâmetro, ângulo PRQ igual a π/5 radianos, andando pela circunferência.
• A armadilha: aplicar direto a fórmula do comprimento de arco com o ângulo π/5. Esse ângulo tem vértice em R, um ponto sobre a circunferência, e não no centro. Usá-lo como se fosse central devolve exatamente metade da resposta — e essa metade está entre as alternativas.
• O que a resposta precisa mostrar: que você distingue ângulo inscrito de ângulo central e aplica corretamente a relação entre eles.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Ângulo central: ângulo com vértice no centro da circunferência. Sua medida em radianos é igual à medida do arco que ele determina, dividida pelo raio. É o único ângulo que entra direto na fórmula do arco.
• Ângulo inscrito: ângulo com vértice sobre a circunferência, cujos lados são cordas. No texto, PRQ tem vértice em R, que está na circunferência interna. É inscrito.
• Teorema do ângulo inscrito: o ângulo inscrito vale metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco. Escrito ao contrário, que é como se usa aqui: ângulo central = 2 × ângulo inscrito. Esse fator 2 é o coração da questão.
• Radiano: unidade de ângulo definida pela razão entre o arco e o raio. Um ângulo de 1 rad determina um arco de comprimento igual ao raio. É por isso que a fórmula do comprimento de arco é tão simples em radianos.
• Comprimento de arco: ℓ = r × θ, com θ em radianos e θ sendo o ângulo central. Se o ângulo estiver em graus, é preciso converter antes; se não for central, é preciso transformá-lo antes.
• Diâmetro e ângulo reto: todo triângulo inscrito numa circunferência que tem um dos lados como diâmetro é retângulo, com o ângulo reto no vértice oposto ao diâmetro. Como RP é diâmetro, o ângulo em Q vale π/2. Esse fato oferece um caminho alternativo de resolução.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "Na circunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km" → o raio a usar é 0,3 km, e não o da circunferência externa. Toda a conta acontece na pista de dentro.
• Evidência 2: "O segmento RP é um diâmetro dessa circunferência interna" → P e R são pontos diametralmente opostos. O centro da circunferência é o ponto médio de RP, e o arco de P até R, por qualquer lado, é meia volta.
• Evidência 3: "o ângulo PRQ tem medida igual a π/5 radianos" → a ordem das letras diz onde está o vértice: no meio, portanto em R. R está sobre a circunferência. O ângulo é inscrito, e enxerga o arco PQ.
• Evidência 4: "ela percorrerá uma distância" andando "pela circunferência interna" → o percurso é sobre a curva, não em linha reta. A grandeza pedida é comprimento de arco, e não o comprimento da corda PQ.
• Síntese: o enunciado dá o raio e um ângulo inscrito. Falta uma única conversão — de inscrito para central — e a fórmula do arco resolve o resto.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Identificar o tipo de ângulo

Chame de O o centro da circunferência interna. Como RP é diâmetro, O é o ponto médio de RP.

O ângulo PRQ tem vértice em R, e R pertence à circunferência. Logo, é ângulo inscrito, não central. Seus lados são as cordas RP e RQ, e o arco que ele enxerga é o arco PQ — justamente o arco cujo comprimento se procura.

4.2 — Passar do ângulo inscrito ao ângulo central

Pelo teorema do ângulo inscrito, o ângulo central que enxerga o mesmo arco PQ é o dobro:

• ângulo POQ = 2 × ângulo PRQ
• ângulo POQ = 2 × π/5
• ângulo POQ = 2π/5 rad

4.3 — Aplicar a fórmula do comprimento de arco

Com o ângulo central em radianos e o raio em quilômetros:

• ℓ = r × θ
• ℓ = 0,3 × 2π/5
• ℓ = 0,6π ÷ 5
• ℓ = 0,12π km

4.4 — Confirmar por outro caminho

Vale refazer a conta sem usar o teorema do ângulo inscrito, para ter certeza.

Como RP é diâmetro, o triângulo PQR é retângulo em Q, com ângulo PQR = π/2. A soma dos ângulos internos dá:

• ângulo QPR = π − π/2 − π/5
• ângulo QPR = π/2 − π/5 = 5π/10 − 2π/10 = 3π/10

Agora olhe o triângulo OPQ. Ele é isósceles, porque OP e OQ são raios. Seus ângulos da base valem, os dois, 3π/10. Então:

• ângulo POQ = π − 2 × 3π/10 = π − 6π/10 = 4π/10 = 2π/5

Mesmo ângulo central de antes, obtido por outro raciocínio.

4.5 — Verificação

Confira a ordem de grandeza. A circunferência interna inteira mede:

• C = 2π × 0,3 = 0,6π km

O arco encontrado, 0,12π km, é 0,12 ÷ 0,6 = 0,2, isto é, um quinto da volta. Faz sentido: um ângulo central de 2π/5 sobre um total de 2π é exatamente 1/5. Gabarito: D.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) 0,009π — Vem de calcular área em vez de comprimento, e ainda com o ângulo errado. A área do setor é A = r² × θ ÷ 2, e com r = 0,3 e θ = π/5 dá 0,09 × π/5 ÷ 2 = 0,009π. Duas trocas na mesma conta: a fórmula do setor no lugar da fórmula do arco, e o ângulo inscrito no lugar do central. O próprio comando avisa que a resposta é uma distância "em quilômetro", e não em quilômetro quadrado.

❌ (B) 0,03π — Corresponde a 0,3 × π/10, ou seja, a usar como central a metade do ângulo inscrito. Inverte o teorema: em vez de dobrar π/5 para chegar ao central, divide-o por dois. É o erro de quem lembra que existe um fator 2 entre inscrito e central, mas aplica esse fator no sentido contrário.

❌ (C) 0,06π — O distrator mais forte da questão, e o mais marcado. Sai de 0,3 × π/5, isto é, de tomar o π/5 do enunciado como ângulo central e jogá-lo direto em ℓ = r × θ. A conta está bem feita; o que falha é a leitura da figura. O vértice do ângulo dado é R, um ponto da circunferência, e não o centro — e essa distinção vale exatamente o dobro no resultado.

✅ (D) 0,12π — É o resultado correto. O ângulo PRQ, de π/5 rad, é inscrito e enxerga o arco PQ; o ângulo central correspondente vale 2 × π/5 = 2π/5 rad. Aplicando ℓ = r × θ com r = 0,3 km, obtém-se 0,3 × 2π/5 = 0,12π km. O valor equivale a um quinto da circunferência interna, que mede 0,6π km — proporção coerente com um ângulo central de 2π/5 num total de 2π.

❌ (E) 0,18π — Equivale a 0,3 × 3π/5, ou seja, ao arco determinado pelo ângulo central de 3π/5. Esse é o ângulo QOR, o suplementar de POQ, que corresponde ao arco de Q até R, e não de P até Q. O erro é de extremidade: acerta toda a geometria e mede o pedaço errado da circunferência.

Gabarito: D — o ângulo dado é inscrito, o central correspondente vale 2π/5 rad, e o arco mede 0,3 × 2π/5 = 0,12π km.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só D se sustenta: B, C e E usam ângulos centrais errados — metade, a própria medida inscrita e o suplementar; A troca comprimento por área. Só D combina o ângulo central certo com a fórmula certa.
• Como o ENEM cobra isso: pistas de corrida, rodas-gigantes, ponteiros de relógio e rotatórias são os contextos favoritos para comprimento de arco. Quase sempre há um ângulo dado que não é o central, e é justamente isso que a questão mede.
• A regra geral: antes de usar ℓ = r × θ, faça duas perguntas. O ângulo está em radianos? O vértice está no centro? Se a resposta a qualquer uma for não, converta primeiro. Ângulo inscrito vale metade do central: para subir de um para o outro, multiplique por 2.
• Eliminação em 30 segundos: repare que 0,06π e 0,12π estão na razão de 1 para 2. Quando duas alternativas guardam exatamente o fator 2 entre si, a questão está testando inscrito contra central — e a resposta é a maior das duas, porque o central é o dobro do inscrito.
• Temas que costumam vir junto: conversão entre graus e radianos, área de setor circular, relações métricas no triângulo retângulo inscrito em semicircunferência e velocidade angular.