Questão 144 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Logarítmica (equações logarítmicas aplicadas)
• ⚡ Nível: Médio — exige resolver duas equações logarítmicas distintas e, em seguida, interpretar corretamente qual diferença de tempo o enunciado está pedindo.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos de crescimento por função logarítmica; resolução de equações do tipo logₐ(x) = y (competência de Matemática e suas Tecnologias voltada a funções e suas aplicações práticas).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos dias se passam entre o instante em que a planta é colocada à venda (30 cm) e o instante em que ela atinge sua altura máxima (40 cm)?"
• Palavras-chave decisivas: "colocada à venda", "altura máxima", "a partir do momento"
• Armadilha típica: calcular apenas o tempo até um dos dois eventos (até os 30 cm ou até os 40 cm) e parar por ali, esquecendo que a pergunta pede o intervalo entre os dois momentos, não um valor absoluto isolado.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de inverter a função logarítmica duas vezes — uma para h = 30 e outra para h = 40 — e, na sequência, subtrair os dois tempos encontrados na ordem correta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função logarítmica como inversa da exponencial: log₂(x) = y é equivalente a dizer que 2^y = x. É essa equivalência que permite "desfazer" o logaritmo e isolar a variável t.
• Potências de base 2 de cabeça: 2⁶ = 64, 2⁷ = 128 e 2⁸ = 256 são valores que aparecem com frequência em questões de ENEM e vale a pena ter memorizados para ganhar tempo de prova.
• Modelagem de crescimento biológico: a forma h = 5·log₂(t + 1) descreve um crescimento que é rápido no início e vai desacelerando com o tempo — característica típica de funções logarítmicas, coerente com o comportamento real de uma planta que cresce rápido nos primeiros dias e se aproxima devagar da altura máxima.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura" → define o primeiro instante de interesse: o valor de t para o qual h = 30.
• Evidência 2: "atinge sua altura máxima de 40 centímetros" → define o segundo instante de interesse: o valor de t para o qual h = 40.
• Evidência 3: "A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo... ela alcançará sua altura máxima?" → a pergunta não quer nenhum dos dois tempos isolados, e sim a diferença entre eles (tempo decorrido entre a venda e o ápice do crescimento).
• Síntese: o caminho de resolução tem três etapas obrigatórias: (1) achar t quando h = 30; (2) achar t quando h = 40; (3) subtrair o primeiro resultado do segundo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Tempo até a planta estar pronta para a venda (h = 30 cm)

Substituindo h = 30 na fórmula h = 5·log₂(t + 1):

30 = 5·log₂(t + 1)

Dividindo os dois lados por 5:

6 = log₂(t + 1)

Passando para a forma exponencial (base 2 elevada ao resultado é igual ao logaritmando):

t + 1 = 2⁶ = 64

t = 63 dias

Ou seja, a planta é colocada à venda 63 dias após brotar do solo.

Subpasso 4.2 — Tempo até a altura máxima (h = 40 cm)

Substituindo h = 40 na mesma fórmula:

40 = 5·log₂(t + 1)

8 = log₂(t + 1)

t + 1 = 2⁸ = 256

t = 255 dias

Ou seja, a planta atinge sua altura máxima 255 dias após brotar do solo.

Uma forma alternativa e elegante de confirmar esse resultado é trabalhar diretamente com a variação de altura: como Δh = 40 − 30 = 10, tem-se

10 = 5·log₂[(t₂ + 1)/(t₁ + 1)] → log₂[(t₂ + 1)/(t₁ + 1)] = 2 → (t₂ + 1)/(t₁ + 1) = 4

Como t₁ + 1 = 64, então t₂ + 1 = 4 × 64 = 256, confirmando t₂ = 255. Essa checagem mostra o "espírito" da função logarítmica: cada 10 cm adicionais de altura corresponde a multiplicar por 4 o valor de (t + 1) — não a somar um valor fixo de dias.

Subpasso 4.3 — Verificação: cálculo do intervalo efetivamente pedido

A pergunta pede o tempo a partir da venda até a altura máxima, ou seja, a diferença:

Δt = t(h=40) − t(h=30) = 255 − 63 = 192 dias

Conferindo nas alternativas numéricas da questão (63, 96, 128, 192, 255), o valor 192 corresponde exatamente à alternativa D — batendo com o gabarito oficial.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 63

❌ Incorreta: esse é o tempo (contado a partir da germinação) até a planta atingir 30 cm — ou seja, é o próprio instante em que ela é colocada à venda. Quem marca essa alternativa resolveu apenas a primeira equação logarítmica e parou aí, sem perceber que a pergunta trata desse valor como ponto de partida, não como resposta final.

B) 96

❌ Incorreta: esse valor não decorre diretamente de nenhuma potência de 2 associada à equação (nem 2⁶, 2⁷ ou 2⁸ resultam nele). É uma armadilha aritmética típica de quem, após calcular corretamente o intervalo de 192 dias, comete um deslize ao simplificar a razão entre potências de base 2 (por exemplo, dividindo o resultado correto por 2 sem justificativa matemática), perdendo o controle sobre a manipulação exponencial no meio do caminho.

C) 128

❌ Incorreta: 128 é exatamente 2⁷. Essa alternativa captura o erro de quem, ao transformar log₂(t + 1) = 8 na forma exponencial, comete um deslize e usa o expoente 7 em vez de 8 (um erro comum de mão ao lidar com 40 ÷ 5 = 8 rapidamente), chegando a t + 1 = 2⁷ = 128 e confundindo esse valor intermediário com a resposta do problema.

D) 192

✅ Correta: é exatamente a diferença entre o tempo em que a planta atinge a altura máxima (255 dias) e o tempo em que ela é colocada à venda (63 dias) — o único valor que responde de fato à pergunta "a partir da venda, em quanto tempo ela atinge o máximo?".

E) 255

❌ Incorreta: esse é o tempo total desde a germinação até a altura máxima, contado desde t = 0 (quando a planta brota do solo) — não desde o momento em que ela foi colocada à venda. Quem marca essa alternativa resolve corretamente a segunda equação, mas ignora a condição inicial do problema (a contagem deveria começar em t = 63, e não em t = 0), esquecendo de subtrair o tempo já decorrido até a venda.

🏆 Gabarito: D — o intervalo entre o momento da venda (63 dias) e o momento em que a planta atinge a altura máxima (255 dias) é 255 − 63 = 192 dias, valor que corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D reflete o que o enunciado realmente pede — a diferença entre dois instantes calculados a partir da mesma função logarítmica, e não um dos instantes isolados.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa frequentemente contextos de crescimento biológico (plantas, populações, bactérias) modelados por funções logarítmicas ou exponenciais, exigindo que o estudante resolva a equação para dois valores diferentes da variável dependente e depois compare, some ou subtraia os resultados.
• Generalização: sempre que uma questão pedir "o tempo entre dois eventos" descritos por uma mesma função, resolva a equação separadamente para cada evento e só então subtraia os tempos — nunca tente combinar as duas condições em uma única equação de forma direta.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro os valores de h mencionados no texto (aqui, 30 e 40) e leia com atenção o verbo/expressão temporal da pergunta ("a partir de", "até", "quanto tempo depois"). Isso já elimina de cara alternativas que representam apenas um dos dois tempos isolados (como A e E), sobrando poucas opções para conferir com cálculo.
• Conexões: esse tipo de questão dialoga diretamente com funções exponenciais (crescimento populacional, meia-vida radioativa) e com propriedades operatórias de logaritmos (mudança de base, logaritmo de um produto/quociente), temas que costumam aparecer juntos em provas de Matemática do ENEM.