Questão 138 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Geometria espacial → planificação da superfície lateral do cilindro
• Habilidade: H8 — resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma
• Nível: Difícil — exige acompanhar quatro trechos de trajeto e saber em que se transforma cada um deles quando o cilindro é desenrolado
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: que desenho o trajeto XYZWV produz quando a superfície lateral do copo é aberta e estendida sobre o plano.
• Palavras-chave decisivas: mesma distância da borda, o mais curto possível, perpendiculares à borda, diametralmente opostos, apenas a planificação da superfície lateral.
• A armadilha: desenhar na planificação as curvaturas que existem no copo. No cilindro, o trecho ao longo da borda é um arco e o caminho mais curto entre dois pontos é uma curva no espaço. Ao desenrolar a superfície, esses dois trechos viram segmentos de reta. Quem mantém as curvas marca uma alternativa errada.
• O que a resposta precisa mostrar: que você sabe traduzir cada tipo de curva do cilindro no seu correspondente plano.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Planificação da superfície lateral do cilindro: corte o cilindro ao longo de uma geratriz e desenrole. O resultado é um retângulo. A largura é o comprimento da circunferência, 2πr; a altura é a altura do cilindro.
• Geratriz: cada segmento vertical da superfície do cilindro, perpendicular às bases. Na planificação, as geratrizes viram os segmentos verticais do retângulo, todos paralelos entre si.
• Borda e paralelos: a borda do copo é a circunferência do topo. Ao desenrolar, ela vira o lado superior do retângulo. Qualquer circunferência traçada a uma distância fixa da borda vira uma reta horizontal do retângulo, paralela ao lado de cima.
• Distância preservada: a planificação não estica nem encolhe a superfície. Distâncias medidas sobre ela permanecem as mesmas. Por isso o caminho mais curto sobre o cilindro vira, no retângulo, o caminho mais curto entre os pontos correspondentes — ou seja, um segmento de reta.
• Perpendicular à borda: no copo, uma curva perpendicular à borda é uma geratriz. Na planificação, é um segmento vertical, perpendicular ao lado superior do retângulo. Os trechos XY e ZW são desse tipo.
• Diametralmente opostos: dois pontos separados por meia volta. Como a largura do retângulo é a circunferência inteira, dois pontos diametralmente opostos ficam separados por metade da largura do retângulo.
• Espessura desconsiderada: o enunciado manda ignorar a espessura do copo. Isso faz com que a face interna e a face externa sejam a mesma superfície, e o trajeto inteiro possa ser desenhado num único retângulo, sem saltos.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "os trajetos XY e ZW são perpendiculares à borda do copo" → esses dois trechos são geratrizes. Na planificação, viram segmentos verticais, perpendiculares ao lado superior do retângulo.
• Evidência 2: o percurso vai de X ao ponto Y e depois a Z, e é de Z que parte o trecho perpendicular descendo pelo lado de dentro → Y e Z estão ambos sobre a borda. Na planificação, o trecho YZ pertence ao lado superior do retângulo.
• Evidência 3: "os pontos X, V, W se encontram à mesma distância da borda" → os três estão sobre a mesma circunferência paralela à borda. Na planificação, ficam alinhados sobre uma mesma reta horizontal.
• Evidência 4: "o trajeto WV é o mais curto possível" → como a planificação preserva distâncias sobre a superfície, o menor caminho vira um segmento de reta. E como W e V estão à mesma altura, esse segmento é horizontal.
• Evidência 5: "os pontos X e V se encontram diametralmente opostos" → na planificação, X e V distam meia largura do retângulo. É esse dado que fixa a escala horizontal do desenho.
• Síntese: os quatro trechos do trajeto viram, nesta ordem, um segmento vertical, um segmento sobre o lado superior, outro segmento vertical e um segmento horizontal. Nenhuma curva sobrevive à planificação.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Montar o retângulo

Cortando o copo pelo segmento PQ, perpendicular à borda, e retirando a base, a superfície lateral se abre num retângulo. O lado superior é a borda do copo; a largura é a circunferência completa; os dois lados verticais são as duas metades do corte PQ.

4.2 — Traduzir trecho por trecho

Percorra o caminho na ordem em que a formiga o faz:

• XY — perpendicular à borda, subindo. Vira um segmento vertical que sai de X e termina em Y, sobre o lado superior do retângulo.
• YZ — de Y a Z, ambos sobre a borda. Vira um segmento horizontal contido no lado superior do retângulo.
• ZW — perpendicular à borda, descendo pelo lado de dentro. Vira um segmento vertical, de mesmo comprimento que XY, já que W está à mesma distância da borda que X.
• WV — o mais curto possível, entre dois pontos à mesma distância da borda. Vira um segmento horizontal, ligando W a V sobre a mesma reta em que está X.

4.3 — Reunir as quatro condições que a figura correta cumpre

A planificação procurada tem de satisfazer, ao mesmo tempo:

• primeira condição: XY e ZW desenhados perpendiculares ao lado superior, isto é, verticais e paralelos entre si;
• segunda condição: YZ apoiado sobre o próprio lado superior do retângulo, e não solto no interior dele;
• terceira condição: X, W e V alinhados numa mesma horizontal, porque estão à mesma distância da borda;
• quarta condição: WV traçado como segmento de reta horizontal, e não como arco.

4.4 — Verificação

O desenho resultante é feito só de segmentos de reta: sobe, corre pela borda, desce e segue na horizontal. Nenhuma curvatura permanece, porque o cilindro foi aberto e a superfície ficou plana. Uma única alternativa apresenta esse traçado com as quatro condições respeitadas. Gabarito: A.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

✅ (A) trajeto formado por XY vertical, YZ sobre o lado superior, ZW vertical e WV horizontal — Cumpre as quatro condições. Os trechos XY e ZW são perpendiculares à borda no copo, logo são geratrizes, e geratrizes viram segmentos verticais no retângulo. O trecho YZ liga dois pontos da borda e por isso corre sobre o lado superior. E WV, sendo o percurso mais curto entre dois pontos à mesma distância da borda, vira o segmento de reta horizontal que une X, W e V numa só altura. Tudo em linha reta, como a planificação exige.

❌ (B) planificação com o trecho WV traçado como arco — Mantém no plano a curvatura que só existia no espaço. É o erro mais comum da questão: no copo, o caminho de W até V realmente contorna a parede, e a intuição pede uma curva. Mas a planificação preserva as distâncias medidas sobre a superfície, e o caminho mais curto entre dois pontos de um plano é sempre o segmento de reta.

❌ (C) planificação com WV oblíquo, ligando pontos a alturas diferentes — Viola a terceira condição. O enunciado afirma que X, V e W estão à mesma distância da borda, o que os coloca sobre uma única circunferência paralela ao topo — e essa circunferência vira uma reta horizontal no retângulo. Um segmento inclinado colocaria W e V a profundidades distintas dentro do copo, contrariando o texto.

❌ (D) planificação com o trecho YZ deslocado para o interior do retângulo — Viola a segunda condição. Y e Z são as extremidades superiores dos trechos perpendiculares à borda, o que significa que ambos estão sobre a borda do copo. Como a borda se transforma no lado superior do retângulo, o trecho YZ tem de correr exatamente sobre esse lado, e não numa reta paralela abaixo dele.

❌ (E) planificação com XY e ZW inclinados em relação ao lado superior — Viola a primeira condição. O enunciado é explícito: "os trajetos XY e ZW são perpendiculares à borda do copo". Perpendicular à borda, no cilindro, é geratriz; e geratriz, no retângulo planificado, é segmento vertical. Segmentos inclinados corresponderiam a trajetos em espiral pela parede do copo, que não é o que a formiga faz.

Gabarito: A — na planificação, os trechos perpendiculares à borda viram segmentos verticais, o trecho pela borda corre sobre o lado superior do retângulo e o caminho mais curto entre W e V, pontos de mesma altura, vira um segmento horizontal.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só A se sustenta: cada uma das outras quatro descumpre uma das condições do enunciado — a perpendicularidade de XY e ZW, a posição de YZ sobre a borda, o alinhamento de X, W e V, ou a retilinearidade de WV.
• Como o ENEM cobra isso: formiga em copo, aranha em caixa, aranha em lata e cabo enrolado em cilindro são o mesmo problema. A prova quer saber se você sabe que o menor caminho sobre uma superfície curva se descobre planificando-a e traçando a reta.
• A regra geral: ao desenrolar um cilindro, guarde três correspondências. Geratriz vira segmento vertical. Borda e circunferências paralelas a ela viram segmentos horizontais. Menor caminho sobre a superfície vira segmento de reta. Nenhuma curva do cilindro permanece curva no plano.
• Eliminação em 30 segundos: varra as cinco figuras procurando qualquer traço curvo. A planificação de um trajeto feito de geratrizes, de arcos da borda e de caminhos mínimos é toda em linha reta — qualquer curva no desenho é motivo imediato de descarte.
• Temas que costumam vir junto: planificação de cone, prisma e pirâmide, área da superfície lateral, distância mínima em sólidos e hélice cilíndrica.