Questão 175 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (Área de Triângulos e Trapézios)
• ⚡ Nível: Médio — a figura precisa ser decomposta corretamente e a álgebra final é simples, mas a sacada geométrica (todos os triângulos têm a mesma altura) não é óbvia à primeira vista
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de áreas por decomposição de figuras planas, usando a relação entre base, altura e paralelismo
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a razão BC/AD que faz os cinco triângulos internos ao trapézio (formados ligando B, M, C do topo aos pontos P, Q da base) terem exatamente a mesma área."
• Palavras-chave decisivas: ponto médio, três partes iguais, áreas iguais
• Armadilha típica: tentar comparar os lados "inclinados" da figura (como AB, BM, PM) como se fossem as bases dos triângulos, ou supor que a razão pedida é simplesmente a fração de trisecção (1/3) usada para obter P e Q — sem perceber que a chave do problema é a altura comum a todos os triângulos.
• O que a resposta precisa demonstrar: que cada um dos cinco triângulos tem um lado apoiado em uma das bases paralelas (AD ou BC) e o vértice oposto na outra base, logo todos compartilham a mesma altura h (a altura do trapézio) — o que reduz o problema de "áreas iguais" a um problema de "bases iguais em valor de área".

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Trapézio isósceles: possui dois lados não paralelos (as "pernas") congruentes e é simétrico em relação à mediatriz das bases paralelas AD e BC.
• Área de um triângulo com base numa reta e ápice na reta paralela: A = (base × h)/2, em que h é a distância entre as duas retas paralelas — esse valor não depende de onde exatamente o ápice está posicionado horizontalmente sobre a reta paralela, só da distância entre as retas.
• Ponto médio e pontos de trisecção: dividem um segmento em partes cujo comprimento é uma fração fixa do segmento original (BM = MC = BC/2; AP = PQ = QD = AD/3).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "M é o ponto médio do segmento BC" → BM = MC = BC/2.
• Evidência 2: "os pontos P e Q são obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais" → AP = PQ = QD = AD/3.
• Evidência 3 (da figura): os segmentos tracejados BP, PM, MQ e QC, somados aos lados sólidos AB, BC, CD e AD, formam um "zigue-zague" que reparte o trapézio em exatamente cinco triângulos: ABP, BPM, PMQ, MQC e QCD.
• Síntese: cada triângulo tem uma base sobre AD (ABP, PMQ, QCD) ou sobre BC (BPM, MQC), com o vértice oposto sempre na outra reta paralela — ou seja, todos os cinco têm a mesma altura h. Isso significa que a área de cada um depende só do comprimento da base que ele usa, e o problema se resolve comparando essas bases.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar um sistema de coordenadas

Chame AD = D (base maior) e BC = c (base menor), com altura h entre as paralelas. Posicione A(0, 0) e D(D, 0). Pela trisecção, P = (D/3, 0) e Q = (2D/3, 0). Como o trapézio é isósceles (simétrico), B = ((D−c)/2, h) e C = ((D+c)/2, h); logo M, ponto médio de BC, cai em (D/2, h) — exatamente sobre o eixo de simetria, entre P e Q, como mostra a figura.

Subpasso 4.2 — Calcular a área dos cinco triângulos

Triângulos com base em AD (ABP, PMQ, QCD): cada um tem base D/3 (respectivamente AP, PQ, QD) e altura h até o vértice oposto (B, M ou C):

A(ABP) = A(PMQ) = A(QCD) = ½ × (D/3) × h = Dh/6.

Triângulos com base em BC (BPM, MQC): BM = MC = c/2, com vértice oposto (P ou Q) a uma altura h de BC:

A(BPM) = A(MQC) = ½ × (c/2) × h = ch/4.

Conferência rápida: somando as cinco áreas, 3×(Dh/6) + 2×(ch/4) = Dh/2 + ch/2 = (D + c)h/2, que é exatamente a área do trapézio pela fórmula usual. Isso confirma que o zigue-zague reparte a figura sem sobras nem sobreposições — o modelo está correto.

Subpasso 4.3 — Verificação

Para que os cinco triângulos tenham área igual, basta igualar os dois valores distintos encontrados:

Dh/6 = ch/4

Cancelando h (h ≠ 0) e resolvendo: 4D = 6c → c/D = 4/6 = 2/3.

Teste numérico: com D = 3 e c = 2 (h = 1, por simplicidade), A(ABP) = A(PMQ) = A(QCD) = ½×1×1 = 0,5, e A(BPM) = A(MQC) = ½×1×1 = 0,5 — os cinco triângulos batem exatamente em área. A razão BC/AD = c/D = 2/3 confirma a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/3

❌ Incorreta: é a fração usada para obter P e Q (AP = AD/3), não a razão pedida. Esse erro surge de "colar" o número da trisecção de AD diretamente como resposta, ignorando que BC é dividido ao meio (por 2) e não em três partes.

B) 2/3

✅ Correta: é exatamente o valor de c/D obtido ao igualar Dh/6 = ch/4, a única condição que garante área igual para os cinco triângulos simultaneamente.

C) 2/5

❌ Incorreta: nasce de um raciocínio equivocado por contagem — associar a razão pedida a "2 triângulos de um tipo entre 5 no total" (2/5), como se a área de cada triângulo fosse proporcional apenas à quantidade de triângulos daquele tipo, e não ao produto base × altura.

D) 3/5

❌ Incorreta: é o mesmo erro de contagem da alternativa C, só que invertido — "3 triângulos com base em AD entre 5 no total" (3/5) —, ignorando de novo que o número de triângulos de cada grupo não determina a razão entre os lados do trapézio.

E) 5/6

❌ Incorreta: aparece quando o estudante monta a equação de áreas corretamente, mas erra ao isolar a razão — por exemplo, tentando obter c/D a partir de uma combinação incorreta dos denominadores 6 e 4 (como "6 − 1 sobre 6"), sem de fato resolver 4D = 6c.

🏆 Gabarito: B — a única razão BC/AD que iguala as áreas dos cinco triângulos é 2/3, obtida ao igualar Dh/6 (triângulos apoiados em AD) e ch/4 (triângulos apoiados em BC) e cancelar a altura comum h.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só BC/AD = 2/3 faz Dh/6 = ch/4 simultaneamente para os três triângulos apoiados em AD e os dois apoiados em BC — qualquer outro valor quebra a igualdade de pelo menos um par.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de figuras "decoradas" com pontos médios e pontos de divisão em partes iguais, pedindo para decompor a área total em regiões menores — a chave quase sempre é identificar uma altura comum entre as regiões.
• Generalização: sempre que um triângulo tiver um lado sobre uma reta e o vértice oposto sobre uma reta paralela a ela, sua área depende só do comprimento desse lado (a base) e da distância fixa entre as retas — a posição horizontal do vértice não importa.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que reproduzem números "óbvios" do enunciado sem cálculo (como 1/3, a fração de trisecção) — elas costumam ser pegadinhas para quem não monta a equação de área.
• Conexões: este raciocínio de "área independe da posição horizontal do vértice sobre a reta paralela" também aparece em questões de área de triângulos inscritos entre retas paralelas e em provas de propriedades de paralelogramos e trapézios via geometria analítica.