Questão 155 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Inequações do 1º grau aplicadas a um problema de medidas
• ⚡ Nível: Médio — exige montar uma dupla desigualdade a partir de um texto e depois cruzar o intervalo obtido com valores tabelados.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de inequações lineares para modelar uma situação real de folga entre peças — competência de tradução de linguagem natural em linguagem matemática.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a maior espessura de vidro, entre as opções da loja, que cabe na canaleta respeitando uma folga mínima de 0,2 cm e máxima de 0,5 cm?"
• Palavras-chave decisivas: maior espessura possível, folga total de pelo menos 0,2 cm, no máximo 0,5 cm
• Armadilha típica: escolher direto a maior espessura da lista (1,40 cm) só porque o enunciado pede "maior espessura possível", sem antes verificar se ela respeita o limite máximo de folga — ou inverter o sentido das desigualdades ao isolar a incógnita.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir o texto em uma dupla desigualdade, resolvê-la corretamente e, em seguida, comparar o intervalo contínuo obtido com os valores discretos do catálogo, escolhendo o maior deles.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Folga (jogo) entre peças: é a diferença entre o espaço disponível (a canaleta) e o objeto que nele se encaixa (o vidro). Matematicamente: folga = largura da canaleta − espessura do vidro.
• Dupla desigualdade: uma condição do tipo a ≤ x ≤ b representa duas inequações simultâneas, a ≤ x e x ≤ b, que a incógnita deve satisfazer ao mesmo tempo — é a forma compacta de escrever "x está entre a e b".
• Otimização em conjunto discreto: quando a variável só pode assumir valores de uma lista finita (as espessuras vendidas na loja), a resposta não é o extremo do intervalo contínuo calculado algebricamente, e sim o maior elemento da lista que efetivamente pertence a esse intervalo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "canaleta de largura interna igual a 1,45 cm" → define o espaço total disponível por onde o vidro deve deslizar.
• Evidência 2: "folga total de pelo menos 0,2 cm... e no máximo 0,5 cm" → estabelece os dois limites (mínimo e máximo) que a diferença entre a largura da canaleta e a espessura do vidro deve respeitar simultaneamente.
• Evidência 3: "precisa de uma placa de vidro de maior espessura possível" → sinaliza que, dentre todas as espessuras válidas, deve-se escolher a máxima.
• Síntese: o problema pede para montar a inequação 0,2 ≤ 1,45 − e ≤ 0,5, resolvê-la para obter o intervalo de espessuras aceitáveis e, então, escolher — entre as cinco opções do catálogo — a maior espessura que cai dentro desse intervalo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando a dupla desigualdade

Seja e a espessura do vidro, em centímetros. A folga total é a diferença entre a largura interna da canaleta e a espessura da placa:

folga = 1,45 − e

O vidraceiro precisa que essa folga fique entre 0,2 cm (mínimo, para o vidro conseguir escorregar na canaleta) e 0,5 cm (máximo, para o vidro não bater com a interferência do vento). Isso se traduz em:

0,2 ≤ 1,45 − e ≤ 0,5

Subpasso 4.2 — Isolando a espessura e

Subtrai-se 1,45 dos três membros da desigualdade:

0,2 − 1,45 ≤ −e ≤ 0,5 − 1,45

−1,25 ≤ −e ≤ −0,95

Multiplicando os três membros por −1, o sentido das desigualdades se inverte:

0,95 ≤ e ≤ 1,25

Logo, qualquer espessura e tal que 0,95 cm ≤ e ≤ 1,25 cm satisfaz simultaneamente as duas exigências de folga.

Subpasso 4.3 — Verificação e escolha da maior espessura disponível

Confrontando o intervalo [0,95 ; 1,25] com as cinco opções do catálogo:

• 0,75 cm → folga = 1,45 − 0,75 = 0,70 cm → maior que 0,5 cm → fora do intervalo ❌
• 0,95 cm → folga = 1,45 − 0,95 = 0,50 cm → no limite superior → dentro do intervalo ✅
• 1,05 cm → folga = 1,45 − 1,05 = 0,40 cm → dentro do intervalo ✅
• 1,20 cm → folga = 1,45 − 1,20 = 0,25 cm → dentro do intervalo ✅
• 1,40 cm → folga = 1,45 − 1,40 = 0,05 cm → menor que 0,2 cm → fora do intervalo ❌

Entre as espessuras válidas (0,95 ; 1,05 ; 1,20), a maior é 1,20 cm — exatamente a placa mais espessa que ainda respeita as duas condições de folga impostas pelo problema.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0,75.

❌ Incorreta: essa espessura gera folga de 1,45 − 0,75 = 0,70 cm, valor acima do limite máximo de 0,5 cm — a placa ficaria batendo com a ação do vento após a instalação. Além de violar a condição, ainda seria a menor opção, o oposto do que se pede.

B) 0,95.

❌ Incorreta: pertence ao intervalo válido, pois gera folga de exatamente 0,50 cm (limite superior permitido). Porém não é a maior espessura possível: existem opções maiores no catálogo (1,05 cm e 1,20 cm) que também satisfazem as duas condições de folga.

C) 1,05.

❌ Incorreta: também está dentro do intervalo [0,95 ; 1,25], com folga de 0,40 cm, respeitando ambos os limites. Ainda assim, não é a maior espessura disponível que atende ao problema, já que 1,20 cm é maior e continua válida.

D) 1,20.

✅ Correta: gera folga de 1,45 − 1,20 = 0,25 cm, que satisfaz 0,2 ≤ 0,25 ≤ 0,5. É a maior espessura do catálogo que respeita simultaneamente o mínimo e o máximo de folga exigidos, sendo exatamente a placa que o vidraceiro precisa comprar.

E) 1,40.

❌ Incorreta: gera folga de apenas 1,45 − 1,40 = 0,05 cm, inferior ao mínimo de 0,2 cm necessário para o vidro conseguir escorregar dentro da canaleta. Apesar de ser a espessura mais "grossa" da lista, ela nem sequer se encaixa fisicamente da forma exigida.

🏆 Gabarito: D — a espessura de 1,20 cm é, entre as fisicamente possíveis (0,95 cm, 1,05 cm e 1,20 cm), a maior placa de vidro capaz de satisfazer simultaneamente a folga mínima de 0,2 cm e a folga máxima de 0,5 cm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas 1,20 cm produz folga de 0,25 cm, dentro da faixa exigida [0,2 ; 0,5], sendo ao mesmo tempo a maior espessura do catálogo que cumpre essa exigência — as demais opções ou ficam fora do intervalo (0,75 cm e 1,40 cm) ou são válidas, porém menores que 1,20 cm (0,95 cm e 1,05 cm).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma disfarçar inequações simples em contextos de marcenaria, encanamento, construção civil ou engenharia, exigindo que o candidato traduza uma "folga", "tolerância" ou "margem" em uma dupla desigualdade matemática.
• Generalização: sempre que o problema fixar um valor mínimo e um valor máximo para uma diferença (ou soma) entre grandezas, monte a inequação como mínimo ≤ expressão ≤ máximo, isole a incógnita com cuidado ao inverter desigualdades por multiplicação/divisão negativa e, por fim, compare o resultado com a lista real de valores disponíveis.
• Dica de eliminação rápida: calcule a folga de cada alternativa (largura da canaleta menos a espessura) e descarte de imediato qualquer valor cuja folga fique fora de [0,2 ; 0,5]; entre as que sobrarem, basta escolher a de maior espessura — essa checagem elimina 2 das 5 alternativas em poucos segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de tolerância dimensional de peças mecânicas, margens de erro em medições experimentais e questões de otimização com variável restrita a um conjunto finito de valores (problemas de "melhor escolha dentre opções tabeladas").