Questão 139 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (comprimento da circunferência) combinada com Otimização discreta (compra de peças inteiras)
• ⚡ Nível: Médio — exige calcular um comprimento geométrico e depois comparar cinco cenários de compra usando arredondamento para cima
• 🎯 Tema/Habilidade: Comprimento de circunferência aplicado a um problema real de minimização de custo com quantidades inteiras (competência de grandezas, medidas e resolução de problemas do cotidiano)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra o comprimento total de faixa necessário para revestir as 5 pilastras e, entre as cinco lojas, identifique qual delas permite comprar esse comprimento (em peças inteiras) pelo menor preço total."
• Palavras-chave decisivas: revestir integralmente, peças inteiras, mais barata
• Armadilha típica: comparar apenas o preço por metro de cada loja (dividindo preço pelo comprimento da peça) e escolher a "mais barata por metro". Isso é enganoso, porque a compra só pode ser feita em peças inteiras — se o comprimento da peça não "encaixa" bem no total necessário, sobra material caro e o custo final dispara.
• O que a resposta precisa demonstrar: o cálculo correto do comprimento total de faixa (usando a circunferência da base do cilindro) e, para cada loja, o número mínimo de peças inteiras que cobre esse total, multiplicado pelo preço da peça — só assim se chega ao custo real de cada opção.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Comprimento da circunferência: C = 2·π·r. É o comprimento que uma faixa percorre ao dar uma volta completa em torno da pilastra cilíndrica.
• Faixa como "anel" ao redor do cilindro: cada uma das faixas (pretas ou brancas) contorna o cilindro uma única vez, logo o comprimento de cada faixa individual é exatamente igual à circunferência da base — não depende da altura do cilindro.
• Compra em peças inteiras (arredondamento para cima): quando o material só é vendido em peças de tamanho fixo e não se pode fracioná-las, o número de peças necessário é o menor inteiro maior ou igual à razão (comprimento total ÷ comprimento da peça). Sobras de material são inevitáveis e fazem parte do custo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada uma tenha seis faixas de cor preta e cinco faixas de cor branca" → cada pilastra recebe 11 faixas no total (6 + 5), cada uma dando uma volta completa ao redor do cilindro.
• Evidência 2 (figura da pilastra): a "vista lateral da pilastra" mostra as faixas pretas e brancas alternadas, envolvendo todo o cilindro horizontalmente — confirma que cada faixa tem comprimento igual à circunferência da base (raio 10 cm).
• Evidência 3 (tabela das lojas): cinco lojas (I a V) vendem peças de comprimentos 3 m, 7 m, 10 m, 14 m e 22 m, por R$ 11,00, R$ 19,00, R$ 33,00, R$ 37,00 e R$ 61,00, respectivamente.
• Síntese: primeiro calcula-se o comprimento total de faixa exigido para revestir as 5 pilastras; em seguida, para cada loja, determina-se quantas peças inteiras são necessárias (arredondando para cima) e o custo correspondente; a resposta é a loja de menor custo total.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Comprimento de uma faixa (circunferência da base)

O raio da base do cilindro é r = 10 cm = 0,10 m. Usando π ≈ 3:

C = 2 · π · r ≈ 2 · 3 · 0,10 = 0,6 m por faixa (seja ela preta ou branca, pois todas envolvem o mesmo cilindro).

Subpasso 4.2 — Comprimento total necessário para as 5 pilastras

Cada pilastra recebe 11 faixas (6 pretas + 5 brancas):

Comprimento por pilastra = 11 × 0,6 m = 6,6 m

Para as 5 pilastras idênticas:

Comprimento total = 5 × 6,6 m = 33 m de faixa.

Subpasso 4.3 — Peças inteiras e custo em cada loja

Como as peças só são vendidas inteiras, em cada loja é preciso comprar o menor número de peças cuja soma de comprimentos seja ≥ 33 m:

| Loja | Comprimento da peça | Peças necessárias | Total comprado | Custo total |

|---|---|---|---|---|

| I | 3 m | 33 ÷ 3 = 11 (exato) | 33 m | 11 × R$ 11,00 = R$ 121,00 |

| II | 7 m | 33 ÷ 7 ≈ 4,71 → 5 | 35 m | 5 × R$ 19,00 = R$ 95,00 |

| III | 10 m | 33 ÷ 10 = 3,3 → 4 | 40 m | 4 × R$ 33,00 = R$ 132,00 |

| IV | 14 m | 33 ÷ 14 ≈ 2,36 → 3 | 42 m | 3 × R$ 37,00 = R$ 111,00 |

| V | 22 m | 33 ÷ 22 = 1,5 → 2 | 44 m | 2 × R$ 61,00 = R$ 122,00 |

Verificação: comparando os cinco custos totais — R$ 121,00 (I), R$ 95,00 (II), R$ 132,00 (III), R$ 111,00 (IV) e R$ 122,00 (V) — o menor valor é R$ 95,00, obtido na Loja II. Vale notar o detalhe pedagógico: a Loja IV tem o menor preço por metro (R$ 37,00 ÷ 14 m ≈ R$ 2,64/m), mas exige comprar 42 m para uma necessidade de 33 m (9 m de sobra), o que encarece o total. Já a Loja II, com 7 m por peça, encaixa quase perfeitamente nos 33 m (apenas 2 m de sobra), resultando no menor custo real.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: a Loja I exige 11 peças de 3 m (33 m exatos, sem sobra), mas o preço unitário de R$ 11,00 é alto em relação ao comprimento, gerando custo total de R$ 121,00 — bem acima do valor mínimo possível.

B) II.

✅ Correta: a Loja II exige 5 peças de 7 m (35 m, com apenas 2 m de sobra), totalizando R$ 95,00 — o menor custo entre as cinco lojas, mesmo sem ter o menor preço por metro nem a peça mais longa.

C) III.

❌ Incorreta: a Loja III exige 4 peças de 10 m (40 m, 7 m de sobra), totalizando R$ 132,00 — o maior custo entre todas as opções, resultado de peças caras e de comprimento que não se ajusta bem aos 33 m necessários.

D) IV.

❌ Incorreta: a Loja IV exige 3 peças de 14 m (42 m, 9 m de sobra), totalizando R$ 111,00. Apesar de ter o menor preço por metro de todas as lojas, o desperdício obrigatório de material (por só vender peças inteiras) faz o custo final superar o da Loja II.

E) V.

❌ Incorreta: a Loja V exige 2 peças de 22 m (44 m, 11 m de sobra), totalizando R$ 122,00 — o maior desperdício de material em valor absoluto entre as cinco lojas, o que compromete a economia mesmo com poucas peças compradas.

🏆 Gabarito: B — a Loja II é a única em que o comprimento da peça (7 m) se ajusta de forma quase exata aos 33 m necessários, resultando no menor custo total (R$ 95,00) entre as cinco opções analisadas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre R$ 121,00 (I), R$ 95,00 (II), R$ 132,00 (III), R$ 111,00 (IV) e R$ 122,00 (V), o menor valor é R$ 95,00, exclusivo da Loja II — por isso a resposta é a letra B.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma unir um cálculo geométrico simples (aqui, comprimento de circunferência) a um problema de otimização com variáveis discretas (compra de embalagens, peças, latas ou pacotes inteiros), testando a habilidade de aplicar matemática a decisões de consumo do cotidiano.
• Generalização: sempre que um problema envolver "comprar em peças/pacotes inteiros para cobrir uma quantidade mínima", use a função teto: nº de peças = menor inteiro ≥ (quantidade necessária ÷ tamanho da peça); depois multiplique pelo preço unitário — nunca decida apenas pelo preço por unidade de medida.
• Dica de eliminação rápida: calcule rapidamente o preço por metro de cada loja para descartar as opções obviamente mais caras (aqui, Loja III se destaca por ter preço por metro alto e ainda gerar desperdício); mas confirme sempre com o cálculo de peças inteiras, pois o resto da divisão pode inverter o ranking, como ocorre entre as Lojas II e IV.
• Conexões: problemas semelhantes aparecem em compras de tinta, ladrilhos, tecido ou embalagens (otimização com arredondamento) e em conversões de unidades (centímetros para metros) aplicadas a grandezas geométricas.