Questão 149 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística: média aritmética, desvio padrão e leitura de quadro classificatório
• ⚡ Nível: Médio — o conceito é simples, mas exige executar sem erro a sequência média → desvios → variância → raiz quadrada e depois enquadrar o resultado na faixa correta.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo do desvio padrão de um conjunto de dados e interpretação da variabilidade a partir de um critério dado.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o desvio padrão dos sete tempos do Quadro 1 e diga em qual faixa de variabilidade do Quadro 2 ele se encaixa."
• Palavras-chave decisivas: desvio padrão, sete vezes, classificação para a variabilidade
• Armadilha típica: parar na variância (σ² = 10) e classificar com esse número — como 10 > 8, a pessoa marcaria "extremamente alta". Falta tirar a raiz quadrada: σ = √10 ≈ 3,2.
• O que a resposta precisa demonstrar: saber que desvio padrão é a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios, e saber ler a faixa correspondente no quadro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética (x̄): soma dos valores dividida pela quantidade de valores. É o "centro" em torno do qual se medem os desvios.
• Desvio de cada valor: dᵢ = xᵢ − x̄. Como desvios positivos e negativos se cancelam, eles são elevados ao quadrado antes de serem somados.
• Variância (σ²): média dos quadrados dos desvios → σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n.
• Desvio padrão (σ): σ = √(variância). É a medida de dispersão na mesma unidade dos dados (aqui, minutos) — por isso é ela, e não a variância, que entra no quadro de classificação.
• Leitura de faixas: o Quadro 2 associa intervalos de σ a rótulos qualitativos; basta localizar em qual intervalo o σ calculado cai.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os tempos gastos pelo motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes" (Quadro 1: 48, 54, 50, 46, 44, 52, 49) → são n = 7 observações; todas entram na média e na dispersão.
• Evidência 2: "O Quadro 2 apresenta uma classificação para a variabilidade do tempo, segundo o valor do desvio padrão" → o critério de decisão é σ, não a variância nem a amplitude.
• Evidência 3: as faixas do Quadro 2 são 0 < σ ≤ 2 (extremamente baixa), 2 < σ ≤ 4 (baixa), 4 < σ ≤ 6 (moderada), 6 < σ ≤ 8 (alta) e σ > 8 (extremamente alta) → o resultado precisa ser comparado a esses limites.
• Síntese: calcular x̄, depois σ² e, por fim, σ = √σ²; localizar σ no Quadro 2.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Média dos sete tempos

Soma: 48 + 54 + 50 + 46 + 44 + 52 + 49 = 343

x̄ = 343 ÷ 7 = 49 minutos

(Um bom sinal: 49 fica bem no meio dos valores, que vão de 44 a 54.)

Subpasso 4.2 — Desvios e seus quadrados

| tempo (xᵢ) | desvio (xᵢ − 49) | quadrado |

|---|---|---|

| 48 | −1 | 1 |

| 54 | +5 | 25 |

| 50 | +1 | 1 |

| 46 | −3 | 9 |

| 44 | −5 | 25 |

| 52 | +3 | 9 |

| 49 | 0 | 0 |

Soma dos quadrados: 1 + 25 + 1 + 9 + 25 + 9 + 0 = 70

Subpasso 4.3 — Variância e desvio padrão

σ² = 70 ÷ 7 = 10

σ = √10 ≈ 3,16 minutos

Subpasso 4.4 — Verificação e enquadramento no Quadro 2

Confira o valor: √9 = 3 e √16 = 4, então √10 está entre 3 e 4 — bate com 3,16. Agora, a faixa:

• 0 < σ ≤ 2 → extremamente baixa ✗ (3,16 > 2)
• 2 < σ ≤ 4 → baixa ✔ (2 < 3,16 ≤ 4)
• 4 < σ ≤ 6 → moderada ✗
• 6 < σ ≤ 8 → alta ✗
• σ > 8 → extremamente alta ✗

O desvio padrão de ≈ 3,16 min cai na segunda faixa: variabilidade baixa.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) extremamente baixa.

❌ Incorreta: exigiria σ ≤ 2, ou seja, tempos praticamente colados na média de 49 min. Mas há tempos de 44 e 54 minutos, que se afastam 5 minutos da média — dispersão suficiente para levar σ a 3,16, fora dessa faixa.

B) baixa.

✅ Correta: com x̄ = 49, a soma dos quadrados dos desvios é 70, a variância é 70 ÷ 7 = 10 e o desvio padrão é √10 ≈ 3,16 min, valor que satisfaz 2 < σ ≤ 4 — exatamente a faixa "baixa" do Quadro 2.

C) moderada.

❌ Incorreta: pediria 4 < σ ≤ 6. É a resposta de quem calcula a variância certa (10) mas erra a raiz (confundindo √10 com algo próximo de 5) ou de quem divide a soma dos quadrados por um n errado, inflando a dispersão.

D) alta.

❌ Incorreta: exigiria 6 < σ ≤ 8. Nenhum tempo se afasta mais de 5 minutos da média, então nem o maior desvio individual (5) chega ao piso dessa faixa — um desvio padrão nesse intervalo é impossível para esses dados.

E) extremamente alta.

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão: quem para na variância (σ² = 10) e a compara com o quadro conclui "10 > 8 → extremamente alta". Mas o Quadro 2 classifica pelo desvio padrão, que é √10 ≈ 3,16 — e não 10.

🏆 Gabarito: B — a média é 49 min, a variância é 70 ÷ 7 = 10 e o desvio padrão é √10 ≈ 3,16 min, que se enquadra na faixa 2 < σ ≤ 4 do Quadro 2: variabilidade baixa.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: σ ≈ 3,16 min só cabe em uma faixa do quadro — a de "baixa". As alternativas C, D e E só seriam alcançadas com dispersão muito maior do que a observada, e A exigiria tempos quase idênticos.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora dar uma tabela de dados + uma tabela de classificação e pedir que você calcule uma medida (média, mediana, moda, desvio padrão) e a enquadre. O trabalho aritmético é sempre "redondo" de propósito.
• Generalização: siga sempre a ordem média → desvios → quadrados → soma → ÷ n → raiz. Pular a raiz final é o erro mais comum e quase sempre tem uma alternativa esperando por ele.
• Dica de eliminação rápida: olhe a amplitude dos dados (54 − 44 = 10 minutos). Um desvio padrão nunca chega perto da amplitude total em conjuntos assim; se o maior desvio individual é 5, um σ acima de 6 é impossível — D e E caem sem conta alguma.
• Conexões: média, mediana e moda; coeficiente de variação; interpretação de gráficos de dispersão e controle de qualidade.