Questão 168 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros e Relação de Euler)
• ⚡ Nível: Difícil — exige contar V, A e F de um sólido não convexo tridimensional imaginando partes ocultas, algo pouco treinado nas escolas
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação de Euler (V + F = A + 2) e suas condições de validade — competência de área 2 (geometrias e medidas)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Olhando a figura de um poliedro não convexo (uma caixa com uma cavidade retangular no topo), descubra qual relação entre V (vértices), F (faces) e A (arestas) ele realmente satisfaz."
• Palavras-chave decisivas: não convexo, faces que não podem ser vistas diretamente, relação V + F = A + ...
• Armadilha típica: aplicar direto a fórmula de Euler "V + F = A + 2" só porque o sólido parece uma caixa comum, sem perceber que a cavidade muda a natureza de uma das faces.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de contar sistematicamente vértices, arestas e faces de um sólido 3D não convexo — inclusive as partes escondidas do desenho — e perceber por que a fórmula clássica pode falhar.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Poliedro convexo x não convexo: num poliedro convexo, o segmento que une dois pontos quaisquer do sólido fica sempre dentro dele; num não convexo há reentrâncias (como a cavidade da figura), então isso deixa de valer.
• Relação de Euler: para poliedros convexos vale sempre V + F = A + 2, onde V é o número de vértices, F o de faces e A o de arestas. Ela também vale para qualquer poliedro "sem buracos" (topologicamente equivalente a uma esfera) desde que todas as faces sejam regiões simplesmente conexas, isto é, sem furos internos.
• Face simplesmente conexa: é uma face cujo contorno é uma única linha fechada, como qualquer polígono comum. Uma face em forma de "moldura" (um retângulo com um retângulo menor recortado no meio) NÃO é simplesmente conexa, porque tem um contorno externo e um contorno interno separados — e é justamente esse tipo de face que quebra a fórmula de Euler tradicional.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura" → o sólido desenhado é uma caixa retangular com um rebaixo (uma cavidade) retangular na face de cima, que não atravessa até a base — essa reentrância é o que torna o poliedro não convexo.
• Evidência 2: "Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares" → o enunciado avisa que as paredes internas da cavidade e o fundo dela (que ficam escondidos no desenho) também são retângulos, permitindo reconstruir mentalmente o sólido por completo para contar V, A e F sem erro.
• Síntese: a questão exige montar mentalmente o sólido inteiro (inclusive o que não aparece na figura), contar cuidadosamente vértices, arestas e faces, e comparar o resultado com a fórmula de Euler — o ponto central é que a face de cima, por ter um furo no meio, não é uma face "normal", e isso é o que faz a relação clássica não se sustentar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Descrevendo o sólido e nomeando as partes

O sólido é um paralelepípedo retângulo (uma caixa) com uma cavidade retangular rebaixada na face superior — como uma bandeja com um poço retangular no meio, que não chega até o fundo da caixa. Para contar com segurança, é mais fácil separar o sólido em duas "camadas":

1. A caixa externa (o paralelepípedo grande): 8 vértices — 4 no contorno da base e 4 no contorno do topo.
2. A cavidade (o rebaixo): sua "boca" está no plano da face superior (4 vértices formando o retângulo do furo) e seu "fundo" fica mais abaixo, dentro da caixa (mais 4 vértices formando o retângulo do piso da cavidade).

Subpasso 4.2 — Contando V, A e F

Vértices (V):

• 4 vértices da base da caixa + 4 vértices do topo da caixa = 8
• 4 vértices da boca do furo (no plano do topo) + 4 vértices do fundo do furo = 8
• V = 8 + 8 = 16

Arestas (A):

• Caixa externa: 4 arestas da base + 4 arestas do topo + 4 arestas verticais = 12
• Contorno da boca do furo (no plano do topo): 4 arestas
• Paredes internas da cavidade (arestas verticais que ligam a boca ao fundo): 4 arestas
• Contorno do fundo da cavidade: 4 arestas
• A = 12 + 4 + 4 + 4 = 24

Faces (F):

• 1 face inferior (o fundo da caixa)
• 4 faces laterais externas da caixa
• 1 face superior "em moldura": é o retângulo do topo COM o retângulo do furo recortado no meio — como é plana, conta como uma única face, mas essa face tem um buraco (não é simplesmente conexa)
• 4 faces internas verticais (as paredes da cavidade)
• 1 face do fundo da cavidade (o "piso" do poço)
• F = 1 + 4 + 1 + 4 + 1 = 11

Subpasso 4.3 — Verificação contra a Relação de Euler

Calculando os dois lados:

• V + F = 16 + 11 = 27
• A + 2 = 24 + 2 = 26 → não bate (a fórmula clássica de Euler falha aqui!)
• A + 3 = 24 + 3 = 27 → bate exatamente

A razão matemática é a seguinte: a demonstração de Euler pressupõe que toda face do poliedro seja simplesmente conexa (um "disco" sem buracos). A face superior deste sólido, porém, é uma moldura com um furo — isso quebra essa hipótese. Cada furo desse tipo numa face acrescenta exatamente +1 ao lado direito da relação. Como há um único furo (na face de cima), o resultado passa de V + F = A + 2 para V + F = A + 3.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) V + F = A

❌ Incorreta: essa diferença (V + F − A = 0) corresponderia a um sólido com um "defeito topológico" ainda maior que o desta figura — por exemplo, um poliedro com um túnel completo atravessando-o combinado com uma face furada. A nossa contagem (16 + 11 − 24 = 3) está muito longe de zero.

B) V + F = A – 1

❌ Incorreta: essa relação exigiria V + F − A = −1, um desvio negativo típico de sólidos com genus ainda mais complexo (como dois túneis passantes). A nossa caixa tem apenas uma cavidade não passante, então esse valor jamais aparece na contagem real.

C) V + F = A + 1

❌ Incorreta: essa é a relação característica de um poliedro toroidal simples — um sólido com um único túnel que atravessa de um lado a outro, mas cujas faces continuam todas simplesmente conexas. Não é o caso da figura: a cavidade dela é um rebaixo com fundo, não um túnel que atravessa a peça.

D) V + F = A + 2

❌ Incorreta: é a fórmula de Euler "clássica", válida para poliedros convexos e, de forma mais geral, para qualquer sólido topologicamente equivalente a uma esfera cujas faces sejam todas simplesmente conexas. É a resposta que parece "óbvia" para quem aplica a fórmula sem examinar a figura — mas a face superior deste sólido tem um furo no meio, violando exatamente a hipótese da demonstração de Euler. Por isso o resultado real diverge dessa fórmula.

E) V + F = A + 3

✅ Correta: confirmada pela contagem direta — V = 16, A = 24, F = 11, logo V + F = 27 = A + 3. O furo na face superior (uma face não simplesmente conexa) é exatamente o que faz a relação se afastar em +1 da fórmula clássica de Euler.

🏆 Gabarito: E — a contagem cuidadosa de vértices (16), arestas (24) e faces (11) do sólido não convexo mostra que V + F = 27 = A + 3, e não V + F = A + 2 como na fórmula clássica de Euler, porque a face superior tem um furo (não é simplesmente conexa).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a contagem manual e cuidadosa de V, A e F — incluindo as partes ocultas da cavidade — leva a V + F = 27 e A = 24, o que só é compatível com a alternativa E (A + 3).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra a Relação de Euler de duas formas: (1) aplicação direta em poliedros convexos regulares (a mais comum) e (2) "pegadinhas conceituais" com sólidos não convexos, testando se o estudante entende as condições sob as quais a fórmula vale, e não apenas decora "V + F = A + 2".
• Generalização: sempre que um poliedro tiver uma face com um furo interno (uma região não simplesmente conexa), a relação V + F = A + 2 deixa de valer; cada furo em uma face soma +1 ao lado direito, enquanto cada túnel que atravessa o sólido de um lado a outro subtrai 2. Combine esses efeitos conforme a geometria do sólido.
• Dica de eliminação rápida: quando a figura mostrar uma cavidade, poço ou rebaixo (que não atravessa o sólido de lado a lado), desconfie imediatamente da alternativa "V + F = A + 2" — ela é a resposta de quem não notou a face furada. Refaça a contagem manual de V, A e F antes de marcar.
• Conexões: relação de Euler em poliedros de Platão (verificação direta em sólidos convexos regulares); noções de topologia de superfícies, como característica de Euler e gênero de uma superfície (base para entender por que túneis e furos alteram a fórmula).