Questão 150 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Estatística → média ponderada
• Habilidade: H25 — resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos
• Nível: Médio — a conta é curta, mas o item cobra duas coisas ao mesmo tempo: usar o peso certo e ler a desigualdade da faixa com atenção ao sinal
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: calcular a idade média de toda a população analfabeta da cidade e localizar esse valor no quadro de faixas.
• Palavras-chave decisivas: 60/100 do total de analfabetos é composto por mulheres; média de idade das mulheres, 30 anos; média de idade dos homens, 35 anos; idade média da população analfabeta.
• A armadilha: somar 30 com 35 e dividir por 2. Esse caminho dá 32,5 e cai numa faixa vizinha — o item foi montado para que a média simples e a média ponderada caiam em recursos diferentes. Quem erra o tipo de média não percebe, porque o número obtido também está no quadro.
• O que a resposta precisa mostrar: que você reconhece que os dois grupos têm tamanhos diferentes e por isso pesam diferente na média — e que sabe ler o sinal ≤ no limite da faixa.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Média aritmética simples: soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Só vale quando todos os valores têm a mesma importância — ou seja, quando os grupos têm o mesmo tamanho.
• Média aritmética ponderada: cada valor entra multiplicado por um peso, e a soma é dividida pela soma dos pesos. Fórmula: M = (x₁ × p₁ + x₂ × p₂) ÷ (p₁ + p₂). Aqui os pesos são as frações da população que cada grupo representa.
• Peso em forma de fração da unidade: quando os pesos já somam 1 (ou 100%), o denominador some e a conta vira só a soma dos produtos. É o caso deste item: 0,60 + 0,40 = 1.
• Complementar de uma fração: se 60/100 dos analfabetos são mulheres, o restante é 100/100 − 60/100 = 40/100. Esse dado não está escrito no enunciado; é você que precisa deduzi-lo.
• Leitura de intervalo com ≤: o símbolo ≤ significa "menor ou igual". Numa faixa escrita como 27 < M ≤ 32, o valor 32 pertence à faixa; o valor 27 não. Confundir os dois extremos é o segundo erro mais comum deste tipo de item.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "possui 60/100 do total de analfabetos de sua população composto por mulheres" → peso das mulheres = 0,60. Por complementaridade, peso dos homens = 0,40.
• Evidência 2: "A média de idade das mulheres analfabetas é de 30 anos" → valor 30, associado ao peso maior.
• Evidência 3: "a média de idade dos homens analfabetos é de 35 anos" → valor 35, associado ao peso menor.
• Evidência 4 (quadro): as cinco faixas de idade média M são: recurso I para M ≤ 22; II para 22 < M ≤ 27; III para 27 < M ≤ 32; IV para 32 < M ≤ 37; V para M > 37. Repare que os limites 22, 27, 32 e 37 pertencem sempre à faixa de baixo, por causa do sinal ≤.
• Síntese: o grupo mais velho é o menor dos dois. A média final tem de ficar mais perto de 30 do que de 35 — e essa observação já indica a faixa antes de qualquer conta.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Escrever os pesos

O enunciado dá só a fração das mulheres. A dos homens sai por diferença:

• mulheres: 60/100 = 0,60
• homens: 100/100 − 60/100 = 40/100 = 0,40
• verificação dos pesos: 0,60 + 0,40 = 1,00 ✓

Como os pesos somam 1, não é preciso dividir por nada no final.

4.2 — Aplicar a média ponderada

M = (30 × 0,60) + (35 × 0,40)

• 30 × 0,60 = 18 → contribuição das mulheres, que são 60% do grupo
• 35 × 0,40 = 14 → contribuição dos homens, que são 40% do grupo
• M = 18 + 14 = 32 anos

Se preferir trabalhar com números inteiros, imagine 100 analfabetos: 60 mulheres e 40 homens.

• soma das idades das mulheres: 60 × 30 = 1 800 anos
• soma das idades dos homens: 40 × 35 = 1 400 anos
• soma total: 1 800 + 1 400 = 3 200 anos
• M = 3 200 ÷ 100 = 32 anos ✓

Os dois caminhos dão o mesmo valor, como esperado.

4.3 — Localizar 32 no quadro

Agora vem a parte em que o item cobra atenção. Onde está o número 32?

• faixa III: 27 < M ≤ 32 → inclui o 32, porque o sinal é ≤
• faixa IV: 32 < M ≤ 37 → exclui o 32, porque o sinal é <

O valor 32 é exatamente o extremo superior da faixa III, e o ≤ o coloca dentro dela.

4.4 — Verificação

Confira o resultado pelo bom senso antes de marcar: a média ponderada tem de cair entre 30 e 35, mais próxima de 30, já que o grupo de 30 anos é maior. O valor 32 está a 2 anos de 30 e a 3 anos de 35 — coerente com a proporção 60 para 40.

Confira também o desvio da armadilha: a média simples seria (30 + 35) ÷ 2 = 32,5, que cai em 32 < M ≤ 37, ou seja, no recurso IV. Como os grupos não têm o mesmo tamanho, a média simples não se aplica. Gabarito: C.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) I — Corresponde a M ≤ 22. Nenhum caminho de cálculo com os dados dados leva a um valor tão baixo: a média ponderada de dois grupos precisa ficar entre os dois valores originais, e o menor deles é 30. Marcar I significa ter perdido a relação entre média e os valores que a compõem.

❌ (B) II — Corresponde a 22 < M ≤ 27. Mesmo problema de A: 27 é menor que 30, e nenhuma média de 30 com 35 pode ficar abaixo de 30. Atrai quem tenta ponderar invertendo a operação, multiplicando as idades pelos pesos e dividindo de novo por 2.

✅ (C) III — Corresponde a 27 < M ≤ 32. A média ponderada é (30 × 0,60) + (35 × 0,40) = 18 + 14 = 32 anos, e o sinal ≤ no limite superior coloca o 32 dentro desta faixa. É a única alternativa compatível com o peso maior do grupo mais jovem.

❌ (D) IV — Corresponde a 32 < M ≤ 37. É o distrator forte, e captura dois erros diferentes. O primeiro é usar a média simples: (30 + 35) ÷ 2 = 32,5, que de fato cai aqui. O segundo é acertar o 32 e ler mal a desigualdade, colocando o valor na faixa que começa em 32 — mas essa faixa é aberta no 32, e portanto o exclui.

❌ (E) V — Corresponde a M > 37. O valor 37 é maior que as duas médias fornecidas. Marcar V exige ter somado as idades sem dividir (30 + 35 = 65) ou ter trocado pesos por multiplicadores independentes. Nenhuma média de 30 e 35 ultrapassa 35.

Gabarito: C — a idade média ponderada é 32 anos, e o intervalo 27 < M ≤ 32 contém esse valor porque seu limite superior é fechado.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só C se sustenta: A, B e E ficam fora do intervalo de 30 a 35, onde toda média desses dois grupos obrigatoriamente cai. D só é alcançada por média simples ou por leitura errada do sinal ≤.
• Como o ENEM cobra isso: o exame quase nunca usa a palavra "ponderada". Ele dá dois ou mais grupos de tamanhos diferentes com suas médias e pergunta a média do conjunto. Já apareceu com notas por turma, salários por setor, consumo por faixa de renda. Sempre que houver grupos desiguais, a média é ponderada.
• A regra geral: média de médias só vale quando os grupos têm o mesmo tamanho. Fora disso, cada média entra multiplicada pela fração que seu grupo representa no total.
• Eliminação em 30 segundos: a média ponderada fica sempre entre o menor e o maior valor, e mais perto do valor do grupo maior. Aqui: entre 30 e 35, puxada para 30. Isso já derruba I, II e V sem nenhuma conta, e deixa só III e IV — decididas pelo sinal da desigualdade.
• Temas que costumam vir junto: média, mediana e moda em quadro de frequências, porcentagem como peso, leitura de intervalos com < e ≤, e o cálculo de nota final com pesos diferentes por avaliação.