Questão 174 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (distância entre pontos e mediatriz de segmento)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir "equidistante" em uma equação algébrica e simplificá-la corretamente até a forma reduzida da reta.
• 🎯 Tema/Habilidade: Lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados (mediatriz), aplicando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano (Competência de Área 7 do ENEM — geometrias analítica e plana).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a equação que descreve todos os pontos (x, y) que estão à mesma distância da Câmera 1 e da Câmera 2."
• Palavras-chave decisivas: equidistante, coordenadas (x ; y), relações
• Armadilha típica: confundir "equidistante de dois pontos" com "ponto médio entre dois pontos". O ponto médio é apenas um ponto; a questão pede a equação (uma reta inteira) que contém infinitos pontos igualmente distantes de C1 e C2 — essa reta é a mediatriz do segmento C1C2.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a igualdade das distâncias euclidianas entre (x, y) e cada câmera, elevar ao quadrado, simplificar algebricamente e chegar à forma y = ax + b.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Distância entre dois pontos: dados A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), a distância é d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. Elevar ambos os lados ao quadrado elimina a raiz e facilita a álgebra.
• Mediatriz de um segmento: é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes das duas extremidades do segmento. Geometricamente, é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.
• Coeficiente angular de retas perpendiculares: se uma reta tem coeficiente angular m, qualquer reta perpendicular a ela tem coeficiente angular −1/m (produto dos coeficientes = −1). Essa propriedade permite montar a mediatriz também pela via geométrica, como forma de conferência.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (figura): o esboço mostra a Câmera 1 no ponto (3 ; 1) e a Câmera 2 no ponto (2 ; 4), com eixo x = "comprimento da sala" e eixo y = "largura da sala" → fornece as duas coordenadas exatas necessárias para montar a equação de distância.
• Evidência 2: "a terceira [câmera] deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas" → define matematicamente a condição d(P, C1) = d(P, C2), sendo P = (x, y) a posição da Câmera 3.
• Evidência 3 (alternativas R1 a R5): todas são equações do tipo y = (algo), ou seja, retas → confirma que a resposta não é um ponto isolado, mas o lugar geométrico completo (a mediatriz), reforçando que se deve resolver a igualdade das distâncias de forma genérica em x e y.
• Síntese: basta igualar as distâncias de um ponto genérico (x, y) às duas câmeras, elevar ao quadrado para eliminar a raiz, expandir os produtos notáveis e isolar y — o resultado deve bater com uma das cinco relações fornecidas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação de equidistância

Sejam C1 = (3 ; 1) e C2 = (2 ; 4) as posições das câmeras já instaladas, e P = (x ; y) a posição da Câmera 3. A condição do problema é:

d(P, C1) = d(P, C2)

√[(x − 3)² + (y − 1)²] = √[(x − 2)² + (y − 4)²]

Elevando os dois lados ao quadrado (operação lícita porque ambos os lados são não negativos):

(x − 3)² + (y − 1)² = (x − 2)² + (y − 4)²

Subpasso 4.2 — Expandir e simplificar

Desenvolvendo os produtos notáveis de cada lado:

Lado esquerdo: x² − 6x + 9 + y² − 2y + 1

Lado direito: x² − 4x + 4 + y² − 8y + 16

Igualando:

x² − 6x + 9 + y² − 2y + 1 = x² − 4x + 4 + y² − 8y + 16

Os termos x² e y² aparecem dos dois lados e se cancelam. Ficamos com:

−6x + 10 − 2y = −4x + 20 − 8y

Passando tudo para o lado esquerdo:

−6x + 4x + 10 − 20 − 2y + 8y = 0

−2x − 10 + 6y = 0

6y = 2x + 10

Dividindo tudo por 6:

y = (2x)/6 + 10/6

y = (1/3)x + 5/3

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira com o ponto médio de C1 e C2, que obrigatoriamente pertence à mediatriz: M = ((3+2)/2 ; (1+4)/2) = (2,5 ; 2,5).

Substituindo x = 2,5 na equação encontrada: y = (1/3)(2,5) + 5/3 = 2,5/3 + 5/3 = 7,5/3 = 2,5 ✓ (bate exatamente com y = 2,5 do ponto médio).

Confira também a perpendicularidade: o coeficiente angular do segmento C1C2 é m = (4 − 1)/(2 − 3) = 3/(−1) = −3. O coeficiente angular da mediatriz encontrada é 1/3. Como (−3) × (1/3) = −1, as retas são de fato perpendiculares — confirmando que y = (1/3)x + 5/3 é exatamente a mediatriz procurada.

A equação obtida, y = (1/3)x + 5/3, corresponde literalmente à relação R4.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R1: y = x

❌ Incorreta: representa a bissetriz do 1º quadrante (reta que passa pela origem com inclinação 45°), sem qualquer relação com o ponto médio de C1C2 nem com o coeficiente angular 1/3 exigido pela perpendicularidade. Não satisfaz d(P,C1) = d(P,C2) para nenhum ponto além de coincidências isoladas.

B) R2: y = −3x + 5

❌ Incorreta: usa o coeficiente angular −3, que é o coeficiente angular do próprio segmento C1C2 (não da sua perpendicular). Quem comete o erro de usar diretamente a inclinação do segmento — em vez de inverter e trocar o sinal para achar a perpendicular — cai nessa armadilha.

C) R3: y = −3x + 10

❌ Incorreta: mesmo erro conceitual de R2 (coeficiente angular do segmento, e não da mediatriz), com um erro adicional no termo independente. Reforça a confusão entre "reta que liga as câmeras" e "reta equidistante das câmeras".

D) R4: y = (1/3)x + 5/3

✅ Correta: é exatamente a equação deduzida a partir da igualdade das distâncias, com coeficiente angular 1/3 (perpendicular ao segmento C1C2, cujo coeficiente é −3) e passando pelo ponto médio (2,5 ; 2,5), como verificado no Subpasso 4.3.

E) R5: y = (1/3)x + 1/10

❌ Incorreta: acerta o coeficiente angular (1/3), mostrando que o candidato entendeu a condição de perpendicularidade, mas erra o termo independente — provavelmente por engano numérico ao simplificar a fração 10/6 (que deveria virar 5/3) ou por não verificar se o ponto médio pertence à reta.

🏆 Gabarito: D — a equação y = (1/3)x + 5/3 é a única que resulta corretamente da igualdade das distâncias entre um ponto genérico (x, y) e as duas câmeras, sendo perpendicular ao segmento C1C2 e passando pelo seu ponto médio.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente R4 satisfaz simultaneamente as duas condições geométricas da mediatriz — coeficiente angular perpendicular ao segmento (1/3, pois −3 × 1/3 = −1) e passagem pelo ponto médio (2,5 ; 2,5); todas as demais falham em pelo menos uma dessas checagens.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma contextualizar a mediatriz com situações do cotidiano (câmeras, antenas, torres de sinal, postos de atendimento) para testar se o estudante reconhece "equidistante de dois pontos" como sinônimo de mediatriz, sem nunca usar esse termo técnico no enunciado.
• Generalização: sempre que o problema pedir o conjunto de pontos igualmente distantes de dois pontos fixos, monte d(P,A) = d(P,B), eleve ao quadrado, cancele os termos x² e y² (eles sempre se cancelam) e isole y — o resultado será sempre uma equação de 1º grau, isto é, uma reta.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o coeficiente angular do segmento entre os dois pontos dados e inverta o sinal do inverso (m → −1/m). Isso já elimina de cara qualquer alternativa que repita o coeficiente angular original do segmento (como ocorre em R2 e R3 aqui).
• Conexões: o mesmo raciocínio de "igualar distâncias e elevar ao quadrado" aparece em questões de circunferência (distância constante a um centro) e em problemas de triangulação/GPS, reforçando a importância de dominar a fórmula da distância entre dois pontos.