Questão 148 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sequências numéricas e interpretação de regras de recorrência
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na conta em si (subtrações e uma média simples), mas em traduzir corretamente uma regra verbal longa e "aninhada" em uma expressão numérica sem trocar a ordem dos termos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de uma regra de recorrência definida no próprio enunciado a dados de uma tabela (competência de resolução de problemas com leitura e interpretação de informações numéricas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir da receita dos últimos três anos, aplique a fórmula de variação descrita no texto para descobrir a receita mínima esperada do Ano IV."
• Palavras-chave decisivas: variação, média aritmética entre essa variação e a variação do ano II para o I, adicionada
• Armadilha típica: inverter qual variação é a "base" (a que se soma diretamente) e qual entra apenas dentro da média — ou esquecer de dividir a soma das duas variações por 2, tratando a "média" como se fosse a soma pura.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de decompor uma frase matemática densa em uma sequência clara de operações (subtração → subtração → média → soma → soma) e executá-la sem trocar a ordem dos termos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Variação entre dois períodos: é simplesmente a diferença entre a receita do ano posterior e a do ano anterior (receita mais recente menos receita mais antiga). Aqui ela funciona como o "passo" de uma sequência.
• Média aritmética entre dois valores: soma dos dois valores dividida por 2. É o operador central que a questão usa para "suavizar" a projeção entre as duas variações conhecidas.
• Regra de recorrência: quando um termo de uma sequência (aqui, a variação futura) é definido em função de termos anteriores por uma fórmula dada no próprio problema — típico em questões de ENEM que testam leitura matemática mais do que fórmulas decoradas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "receitas anuais dos três últimos anos" com a tabela Ano I = 2,2; Ano II = 4,2; Ano III = 7,4 (bilhão de reais) → fornece a matéria-prima numérica para calcular as duas variações históricas disponíveis.
• Evidência 2: "a variação do ano IV para o ano III será igual à variação do ano III para o II adicionada à média aritmética entre essa variação e a variação do ano II para o I" → define, em palavras, a fórmula:

ΔIV,III = ΔIII,II + média(ΔIII,II ; ΔII,I)

• Síntese: basta (1) calcular ΔII,I e ΔIII,II direto da tabela, (2) montar a média entre elas, (3) somar essa média à variação III→II para obter ΔIV,III, e (4) somar esse resultado à receita do Ano III.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular as variações históricas conhecidas

Da tabela:

• Receita Ano I = 2,2 bilhão
• Receita Ano II = 4,2 bilhão
• Receita Ano III = 7,4 bilhão

Variação do ano II para o ano I:

ΔII,I = 4,2 − 2,2 = 2,0 bilhão

Variação do ano III para o ano II:

ΔIII,II = 7,4 − 4,2 = 3,2 bilhão

Subpasso 4.2 — Montar e aplicar a regra de recorrência

A regra diz: ΔIV,III = ΔIII,II + média(ΔIII,II ; ΔII,I)

Primeiro, a média aritmética entre as duas variações:

média = (ΔIII,II + ΔII,I) ÷ 2 = (3,2 + 2,0) ÷ 2 = 5,2 ÷ 2 = 2,6

Agora, a variação projetada do ano IV para o ano III:

ΔIV,III = 3,2 + 2,6 = 5,8 bilhão

Subpasso 4.3 — Verificação: obter a receita do Ano IV

Receita IV = Receita III + ΔIV,III = 7,4 + 5,8 = 13,2 bilhão de reais

Conferindo com as alternativas, 13,2 é exatamente o valor da alternativa C — o cálculo bate perfeitamente com a leitura literal da regra dada no enunciado, sem necessidade de arredondamentos.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10,0.

❌ Incorreta: esse valor surge se o candidato usar apenas a média (2,6) como a variação projetada, esquecendo de somá-la à variação-base ΔIII,II (3,2). Ou seja, calcula Receita IV = 7,4 + 2,6 = 10,0, ignorando a primeira metade da regra ("a variação do ano III para o II adicionada à média...").

B) 12,0.

❌ Incorreta: resulta de trocar a ordem das variações na fórmula — usar ΔII,I (2,0) como base e somar a ela a média (2,6), em vez de usar ΔIII,II como manda o enunciado. Assim: 7,4 + (2,0 + 2,6) = 7,4 + 4,6 = 12,0. O erro conceitual é não identificar corretamente qual variação é "a base" (a mais recente, III→II) e qual entra apenas dentro do cálculo da média.

C) 13,2.

✅ Correta: é o resultado exato de aplicar a regra na ordem certa — ΔIV,III = ΔIII,II + média(ΔIII,II ; ΔII,I) = 3,2 + 2,6 = 5,8, e Receita IV = 7,4 + 5,8 = 13,2 bilhão de reais.

D) 16,8.

❌ Incorreta: valor compatível com uma dupla contagem da variação III→II — por exemplo, somar essa variação duas vezes (uma como "base" e outra embutida incorretamente dentro da média, sem de fato dividir por 2), o que infla artificialmente o incremento projetado e superestima a receita.

E) 20,6.

❌ Incorreta: é o maior valor entre as opções e aparece quando o candidato soma a receita do Ano III uma segunda vez ao resultado já calculado (13,2 + 7,4 = 20,6), como se o valor final da projeção fosse apenas um "incremento parcial" e não a própria receita esperada — um erro de dupla contagem da base.

🏆 Gabarito: C — a receita mínima esperada do Ano IV é 13,2 bilhão de reais, obtida somando à receita do Ano III (7,4) a variação projetada de 5,8, que por sua vez é a soma exata entre a variação III→II (3,2) e a média aritmética das duas variações históricas (2,6).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a leitura literal e ordenada da regra — variação-base mais a média das duas variações — devolve 13,2; qualquer inversão de ordem ou omissão de termo desvia para outra alternativa, o que confirma C como única resposta compatível com o enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cria "fórmulas verbais" dentro do próprio texto (em vez de exigir fórmula decorada) e testa se o candidato consegue traduzi-las passo a passo em operações aritméticas, geralmente envolvendo tabelas de dados históricos.
• Generalização: sempre que o enunciado definir uma regra de recorrência em palavras, escreva-a primeiro em notação matemática (ex.: ΔIV,III = ... ) antes de substituir números — isso evita trocar a ordem dos termos, erro mais comum nesse tipo de questão.
• Dica de eliminação rápida: calcule logo as duas variações simples da tabela (2,0 e 3,2); qualquer alternativa menor que a receita do Ano III somada à menor variação (aproximadamente 7,4 + 2,0 = 9,4) ou muito acima do dobro da maior variação pode ser descartada por estimativa antes mesmo de aplicar a fórmula completa.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de progressão aritmética disfarçada e em problemas de projeção/previsão com "regra de formação" dada no texto — treinar a tradução de linguagem natural para expressão algébrica ajuda em ambos os casos.