Questão 147 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Análise combinatória → princípio multiplicativo
• Habilidade: H3 — resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos
• Nível: Fácil — duas linhas de conta, desde que se identifique que cada chave é uma decisão independente
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: quantas configurações diferentes quatro chaves de duas posições podem assumir.
• Palavras-chave decisivas: quatro chaves seletoras, cada uma pode estar na posição 0 ou 1, cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência diferente.
• A armadilha: multiplicar o número de chaves pelo número de posições e responder 4 × 2 = 8. É o erro mais comum em contagem: somar ou multiplicar as quantidades erradas em vez de multiplicar as possibilidades de cada etapa.
• O que a resposta precisa mostrar: que você reconhece quatro decisões independentes, cada uma com duas opções, e aplica o princípio multiplicativo.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Princípio multiplicativo: se uma escolha é feita em etapas sucessivas e independentes, com n₁ opções na primeira, n₂ na segunda e assim por diante, o total de resultados é n₁ × n₂ × … × n_k. Multiplica-se, não se soma, porque cada opção de uma etapa se combina com todas as opções das demais.
• Decisões independentes: a posição de uma chave não limita a posição das outras. Qualquer combinação é possível, e é justamente isso que autoriza a multiplicação direta.
• Sequências com repetição: quando há k posições e cada uma admite n valores, e os valores podem se repetir, o total é nᵏ. Aqui, k = 4 chaves e n = 2 posições, então 2⁴.
• Permutação, que não é o caso: permutar seria reordenar as quatro chaves entre si, dando 4! = 24. Não é o que o aparelho faz — as chaves são fixas, o que muda é a posição de cada uma. Distinguir "ordenar objetos" de "escolher estados" evita o distrator mais alto.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "Esse aparelho possui quatro chaves seletoras" → há 4 etapas de decisão, uma por chave.
• Evidência 2: "cada uma pode estar na posição 0 ou 1" → cada etapa tem 2 opções, e o número é o mesmo para todas as chaves.
• Evidência 3: "Cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência diferente de transmissão" → configurações distintas geram frequências distintas, sem repetição. Contar as configurações é contar as frequências.
• Evidência 4: nada no texto proíbe qualquer combinação → as chaves são independentes entre si, e a ordem em que se decide não altera o resultado.
• Síntese: o problema pede o número de sequências de 4 símbolos formadas com 2 valores possíveis, permitindo repetição.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Montar as etapas

Cada chave é uma casa a ser preenchida, e cada casa aceita dois valores:

• chave 1 → 2 possibilidades (0 ou 1)
• chave 2 → 2 possibilidades (0 ou 1)
• chave 3 → 2 possibilidades (0 ou 1)
• chave 4 → 2 possibilidades (0 ou 1)

4.2 — Aplicar o princípio multiplicativo

• total = 2 × 2 × 2 × 2 → uma opção por chave
• total = 4 × 2 × 2 → primeiras duas chaves combinadas
• total = 8 × 2 → primeiras três chaves combinadas
• total = 16 → todas as quatro chaves

Em forma de potência:

• total = 2⁴ = 16 → 2 posições elevado a 4 chaves

4.3 — Conferir pela construção da lista

Com 1 chave: 0 e 1, ou seja, 2 configurações.

Com 2 chaves: 00, 01, 10, 11 → 4 configurações. Cada configuração anterior gerou duas novas.

Com 3 chaves: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 → 8 configurações.

Com 4 chaves: cada uma das 8 anteriores se desdobra em duas, acrescentando 0 ou 1 → 16 configurações.

O padrão dobra a cada chave acrescentada, o que confirma a potência de base 2.

4.4 — Verificação

Como cada configuração distinta corresponde a uma frequência distinta, o número de frequências é igual ao número de configurações. Gabarito: D.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) 6 — resultado de somar em vez de multiplicar: 4 chaves + 2 posições = 6. Soma responde a "quantos objetos existem ao todo", não a "de quantas maneiras eles se combinam". O princípio multiplicativo só admite soma quando os casos são alternativos e mutuamente exclusivos, o que não é a situação aqui.

❌ (B) 8 — vem de dois erros diferentes, ambos frequentes. Ou se multiplicou 4 chaves × 2 posições, confundindo as grandezas; ou se calculou 2³, esquecendo uma das quatro chaves. Note que 8 é exatamente o total para três chaves, o que torna esse distrator perigoso para quem se perde na contagem.

❌ (C) 12 — não corresponde a nenhuma leitura coerente do enunciado. Aparece em quem tenta arranjar as quatro chaves duas a duas (4 × 3 = 12), tratando o problema como ordenação de objetos distintos em vez de atribuição de estados.

✅ (D) 16 — é 2⁴, o resultado do princípio multiplicativo aplicado a quatro decisões independentes de duas opções cada: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. A construção por etapas confirma, dobrando o total a cada chave acrescentada: 2, 4, 8, 16.

❌ (E) 24 — é 4! = 4 × 3 × 2 × 1, a permutação das quatro chaves. Corresponde a reordenar as chaves entre si, o que o aparelho não faz: as chaves ocupam posições fixas no equipamento e o que varia é o estado de cada uma. Confundir permutação com escolha de estados é o erro conceitual mais caro da combinatória.

Gabarito: D — quatro chaves independentes, com duas posições cada, produzem 2⁴ = 16 configurações, e cada configuração corresponde a uma frequência diferente.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só D se sustenta: as demais resultam de somar quantidades, de perder uma etapa ou de tratar o problema como ordenação. Nenhuma delas conta combinações de estados.
• Como o ENEM cobra isso: o mesmo esqueleto aparece em senha, placa de veículo, cardápio, sequência de bits, código de barras e escolha de roupas. Muda o contexto, o método é sempre montar as casas e multiplicar as possibilidades de cada uma.
• A regra geral: k posições, n valores possíveis em cada, com repetição permitida → nᵏ. Se a repetição fosse proibida, o cálculo mudaria para n × (n−1) × (n−2) × …
• Eliminação em 30 segundos: desenhe quatro tracinhos, escreva 2 sobre cada um e multiplique. A conta cabe em cinco segundos e dispensa qualquer fórmula decorada.
• Temas que costumam vir junto: arranjo, permutação, combinação simples, sistema binário e cálculo de probabilidade em espaço amostral finito.