Questão 160 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Exponencial (crescimento percentual) combinada com Geometria Plana (área do círculo)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar duas fórmulas ao mesmo tempo (raio que cresce em progressão geométrica e área do círculo) e prestar atenção ao índice correto do expoente
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de crescimento exponencial em contexto biológico/geométrico (traduzir "aumento percentual constante" em potência de base 1,1)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a expressão de Q (quantidade de bactérias) em função de r (raio no 1º dia) e d (dias transcorridos), sabendo que o raio cresce 10% ao dia e a concentração é constante."
• Palavras-chave decisivas: aumentou 10% a cada dia, círculo, concentração... não mudou
• Armadilha típica: usar o expoente d em vez de (d-1) — já que no primeiro dia (d = 1) o raio ainda é r, sem nenhum crescimento aplicado — e confundir "crescer 10% ao dia" (multiplicação repetida) com "crescer 1,1 vezes d" (multiplicação simples, ou seja, um erro de linearizar um fenômeno exponencial).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um crescimento percentual sucessivo em uma potência de razão (1+i) e de encaixar essa expressão corretamente dentro da fórmula A = πr², multiplicando o resultado pela densidade constante de bactérias.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Crescimento exponencial (juros compostos): se uma grandeza aumenta um percentual fixo i a cada período, seu valor após n aplicações desse aumento é dado por valor inicial × (1 + i)ⁿ. Aqui, i = 10% = 0,1, logo o fator multiplicador diário é 1,1.
• Área do círculo: A = π·r², onde r é o raio no instante considerado. Repare que é o raio (uma medida linear) que cresce 10% ao dia — a área cresce (1,1)² = 1,21 vezes ao dia, não 10%.
• Modelagem por densidade constante: quando a concentração (bactérias/mm²) não varia, a quantidade total é sempre concentração × área. Isso transforma o problema geométrico (área variável) em um problema populacional (Q variável).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia" → o raio segue uma progressão geométrica de razão 1,1: a cada dia que passa, o raio do dia anterior é multiplicado por 1,1.
• Evidência 2: "a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo" → a constante 1000 = 10³ multiplica a área para dar Q, e essa constante NÃO deve ser elevada ao quadrado — só o raio (parte geométrica) é elevado ao quadrado ao calcular a área.
• Evidência 3: "r representa o raio do círculo no primeiro dia" e "d o número de dias transcorridos" → no dia d = 1, ainda não se passou nenhum dia completo de crescimento a partir do primeiro dia, então o raio nesse instante é simplesmente r (sem nenhuma multiplicação por 1,1). Isso obriga o expoente do crescimento a ser (d − 1), e não d.
• Síntese: o caminho é (1) escrever o raio em função de d, (2) elevar esse raio ao quadrado e multiplicar por π para obter a área, (3) multiplicar a área por 10³ para obter Q.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Raio em função do tempo

No primeiro dia (d = 1), o raio vale r. A cada dia que passa, o raio anterior é multiplicado por 1,1 (aumento de 10%). Depois de d dias transcorridos a partir do primeiro dia, o número de multiplicações aplicadas é (d − 1). Logo, o raio no dia d é:

r(d) = r · (1,1)^(d−1)

Teste rápido: se d = 1 → r(1) = r · (1,1)⁰ = r · 1 = r. ✓ Bate exatamente com o enunciado ("r representa o raio no primeiro dia"). Se usássemos expoente d, teríamos r(1) = r · 1,1 ≠ r, o que já contradiria a definição de r dada no enunciado — esse é o teste que elimina o erro mais comum da questão.

Subpasso 4.2 — Área da cultura em função do tempo

A área de um círculo é A = π·(raio)². Substituindo r(d):

A(d) = π · [r · (1,1)^(d−1)]²

Aqui é essencial elevar ao quadrado o produto "r · (1,1)^(d−1)" como um todo, pois é o raio completo (já com seu crescimento) que define a área — e não apenas uma das partes.

Subpasso 4.3 — Quantidade de bactérias Q

A concentração é constante: 1000 bactérias/mm² = 10³ bactérias/mm². Como concentração não muda, ela é apenas um fator multiplicativo simples sobre a área (não faz parte do "raio" e, portanto, não deve ser elevada ao quadrado):

Q(r, d) = concentração × A(d) = 10³ · [r · (1,1)^(d−1)]² · π

Reescrevendo na mesma ordem das alternativas:

Q = 10³ · [(1,1)^(d−1) · r]² · π

Subpasso 4.4 — Verificação

Confira contra as alternativas: essa é exatamente a estrutura da alternativa B. Teste numérico: no dia 1 (d = 1), Q = 10³ · r² · π, que é "concentração × área inicial" — coerente com o enunciado. No dia 2 (d = 2), Q = 10³ · (1,1r)² · π = 10³ · 1,21 · r² · π, ou seja, a quantidade de bactérias cresce 21% no segundo dia (porque a área cresce com o quadrado do raio), não 10% — confirmando por que elevar ao quadrado o termo completo é indispensável.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Q = (10³ · (1,1)^(d−1) · r)² · π

❌ Incorreta: eleva ao quadrado também a constante 10³, transformando-a em (10³)² = 10⁶. Isso é um erro conceitual grave — a concentração é um fator linear que multiplica a área já pronta; apenas a parte geométrica (o raio) deve ser elevada ao quadrado, nunca a densidade populacional.

B) Q = 10³ · [(1,1)^(d−1) · r]² · π

✅ Correta: aplica o expoente (d − 1) ao fator de crescimento (respeitando que no dia 1 o raio ainda é r), eleva corretamente só o raio ao quadrado para formar a área, e multiplica o resultado pela concentração constante 10³. É exatamente a expressão obtida na resolução.

C) Q = 10³ · [1,1(d−1) · r]² · π

❌ Incorreta: escreve "1,1(d − 1)" como uma multiplicação (1,1 vezes (d − 1)) em vez de uma potência ((1,1) elevado a (d − 1)). Isso transforma um crescimento exponencial (multiplicativo, em cadeia) em um crescimento linear (aditivo), o que contraria diretamente a informação "aumentou 10% a cada dia", que descreve juros compostos, não uma soma constante.

D) Q = 2×10³ · (1,1)^(d−1) · r · π

❌ Incorreta: comete dois erros — usa apenas r (raio) elevado à primeira potência em vez de r² (esqueceu de elevar ao quadrado para obter área de um círculo, calculando algo mais parecido com um perímetro) e introduz um fator 2 que não tem respaldo em nenhum dado do enunciado (não há menção a diâmetro nem a duplicação de nada).

E) Q = 2×10³ · [1,1(d−1) · r] · π

❌ Incorreta: acumula os dois erros anteriores simultaneamente — trata o crescimento como linear (1,1 multiplicado por (d − 1), igual ao erro de C) e não eleva o raio ao quadrado (igual ao erro de D), além de manter o fator 2 sem justificativa nos dados fornecidos.

🏆 Gabarito: B — é a única expressão que respeita simultaneamente as três exigências do enunciado: expoente (d − 1) para representar corretamente o raio no primeiro dia, o raio elevado ao quadrado para formar a área do círculo, e a concentração 10³ multiplicando essa área sem ser elevada ao quadrado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa B é a única que traduz fielmente a cadeia lógica do problema: raio cresce em progressão geométrica de razão 1,1 com expoente (d − 1); a área do círculo exige elevar esse raio ao quadrado; e a densidade constante 10³ entra como fator multiplicativo simples, fora do quadrado.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora combinar crescimento percentual (juros compostos, função exponencial) com outra fórmula conhecida — aqui, área do círculo. A pegadinha do "primeiro dia sem crescimento ainda aplicado" (expoente d − 1) é recorrente em questões de progressão geométrica com contagem de dias, meses ou períodos.
• Generalização: sempre que uma grandeza aumenta i% a cada período e você conhece o valor no "instante zero" (ou "primeiro momento"), o valor após n períodos completos é valor inicial × (1 + i)ⁿ. Se o enunciado numerar os períodos a partir de 1 (e não de 0), o expoente correto é (número do período − 1).
• Dica de eliminação rápida: primeiro cheque se a constante de concentração está fora do quadrado (elimina A na hora); depois cheque se o termo "1,1" aparece com expoente (potência), não multiplicado por (d − 1) (elimina C e E); por fim, confirme que o raio está elevado ao quadrado, pois se trata de área, não de raio ou perímetro (elimina D).
• Conexões: esse raciocínio aparece em problemas de juros compostos, depreciação/valorização percentual de bens, e em qualquer modelo de crescimento populacional exponencial (bactérias, vírus, capital investido) — sempre monte a expressão em duas etapas: primeiro a grandeza linear que cresce percentualmente, depois a fórmula geométrica ou física que depende dela.