Questão 153 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (Teorema de Pitágoras) e Razão/Proporção
• ⚡ Nível: Médio — combina razão 4:3, Teorema de Pitágoras e conversão de unidade (polegada → cm) em uma única sequência de raciocínio
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação do Teorema de Pitágoras a grandezas proporcionais em contexto real (Competência de Área 2 — Grandezas e Medidas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Uma TV de 20 polegadas de diagonal tem lados na razão C : A = 4 : 3. Calcule o comprimento C em centímetros."
• Palavras-chave decisivas: diagonal, razão 4 : 3, 2,54 cm
• Armadilha típica: encontrar corretamente o comprimento em polegadas (16), mas esquecer de multiplicar por 2,54 e marcar essa medida "crua"; ou trocar o comprimento (C) pela altura (A) na hora de converter.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma razão em variáveis proporcionais, aplicar o Teorema de Pitágoras sobre a diagonal informada e, só depois, converter o resultado para a unidade pedida (cm).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão como proporção paramétrica: quando C : A = 4 : 3, escrevemos C = 4k e A = 3k, sendo k uma constante positiva — assim a razão se mantém exata para qualquer valor de k.
• Teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Como a diagonal da tela divide o retângulo em dois triângulos retângulos, ela funciona como hipotenusa de C e A.
• Terno pitagórico 3-4-5: catetos na razão 3 : 4 sempre geram uma hipotenusa na razão 5 (pois 3² + 4² = 5²) — é justamente esse padrão que a questão explora.
• Conversão de unidades: 1 polegada = 2,54 cm. Toda medida encontrada em polegadas precisa ser multiplicada por esse fator antes de ser comparada às alternativas, que já estão em centímetros.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a polegada... corresponde a 2,54 cm" → sinaliza que a resposta final exige uma conversão explícita; não à toa, três alternativas (30,48; 40,64; 50,80) são múltiplos de 2,54 por números inteiros pequenos.
• Evidência 2: "a diagonal do retângulo que representa sua tela mede X polegadas" + "TV convencional de 20 polegadas" → a diagonal (hipotenusa do triângulo retângulo) vale exatamente 20 polegadas.
• Evidência 3 (figura): o esquema mostra um retângulo com altura A, comprimento C e a diagonal X traçada de um vértice a outro, confirmando visualmente o triângulo retângulo formado por A, C e a diagonal.
• Síntese: o caminho é (1) parametrizar C e A pela razão 4 : 3, (2) aplicar Pitágoras usando a diagonal de 20 polegadas para achar o valor de C em polegadas, e (3) converter esse C para centímetros multiplicando por 2,54.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Parametrizando a razão C : A = 4 : 3

Como o comprimento está para a altura assim como 4 está para 3, existe uma constante k tal que:

C = 4k

A = 3k

Isso garante que a razão C/A = 4k/3k = 4/3 seja respeitada para qualquer valor positivo de k.

Subpasso 4.2 — Aplicando o Teorema de Pitágoras

A diagonal (20 polegadas) é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos C e A:

diagonal² = C² + A²

20² = (4k)² + (3k)²

400 = 16k² + 9k²

400 = 25k²

k² = 16

k = 4

Subpasso 4.3 — Verificação

Com k = 4:

C = 4k = 4 × 4 = 16 polegadas

A = 3k = 3 × 4 = 12 polegadas

Conferindo: √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20 ✔ (bate com a diagonal de 20 polegadas)

Conferindo a razão: 16 : 12 = 4 : 3 ✔

Agora, convertendo o comprimento para centímetros, como pede a questão:

C(cm) = 16 × 2,54 = 40,64 cm

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 12,00.

❌ Incorreta: 12 é o valor da altura A em polegadas (3k = 12), não o comprimento C, e sequer foi convertido para centímetros. É o erro de confundir qual lado a questão pede.

B) 16,00.

❌ Incorreta: 16 é exatamente o comprimento C em polegadas (4k = 16), obtido corretamente pelo Pitágoras, mas sem a conversão final para centímetros — o erro é parar um passo antes do fim.

C) 30,48.

❌ Incorreta: 30,48 = 12 × 2,54, ou seja, é a altura A (12 polegadas) convertida para centímetros, não o comprimento C. É a combinação de dois erros: trocar C por A e depois converter.

D) 40,64.

✅ Correta: 40,64 = 16 × 2,54, resultado da sequência completa — razão 4 : 3 parametrizada, Pitágoras aplicado à diagonal de 20 polegadas (obtendo C = 16 polegadas) e conversão final para centímetros.

E) 50,80.

❌ Incorreta: 50,80 = 20 × 2,54, ou seja, é a própria diagonal (20 polegadas) convertida para centímetros, sem nem aplicar a razão 4 : 3. É o erro de tratar a medida em polegadas (20") diretamente como se fosse o comprimento da TV.

🏆 Gabarito: D — o comprimento C, obtido via razão 4 : 3 e Teorema de Pitágoras (C = 16 polegadas), convertido para centímetros (16 × 2,54), resulta em 40,64 cm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa que nasce da sequência completa e correta: parametrizar a razão, aplicar Pitágoras sobre a diagonal, encontrar C em polegadas e só então converter para centímetros.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora explorar razões entre catetos combinadas ao Teorema de Pitágoras em objetos do cotidiano (telas de TV, monitores, tablets), quase sempre reciclando ternos pitagóricos conhecidos como 3-4-5, 6-8-10 ou 5-12-13.
• Generalização: sempre que dois lados estiverem numa razão m : n, escreva-os como mk e nk; isso transforma duas incógnitas em uma só e permite aplicar Pitágoras (ou qualquer outra relação) de forma direta.
• Dica de eliminação rápida: observe quais alternativas são múltiplos "redondos" de 2,54 (12×2,54, 16×2,54, 20×2,54...) — isso revela de cara quais opções vêm de confundir C, A ou a diagonal, permitindo eliminar 2 ou 3 alternativas antes mesmo de refazer as contas.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de semelhança de triângulos, escalas em mapas/maquetes e no cálculo de diagonais de telas, folhas e monitores em diferentes formatos (16:9, 4:3, 21:9).