Questão 169 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos aplicados a Juros Compostos (Matemática Financeira)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a equação exponencial do montante, transformá-la em equação logarítmica com as aproximações dadas e, ainda, interpretar corretamente o conceito de carência para escolher o plano.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas de juros compostos por meio de logaritmos, com interpretação de tabela de planos financeiros (Matemática Financeira + Função Exponencial/Logarítmica).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule quantos meses são necessários para que os R$ 200,00 dobrem de valor a 5% ao mês e identifique qual dos cinco planos de carência corresponde exatamente a esse prazo."
• Palavras-chave decisivas: duplique, carência, rendendo até
• Armadilha típica: aplicar o logaritmo de forma apressada (esquecendo que log(a^n) = n·log a) ou, depois de achar o número de meses, escolher por "impressão visual" um plano parecido em vez de comparar o valor calculado com precisão a cada carência oferecida.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de transformar crescimento exponencial em equação logarítmica usando log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02, e de interpretar que o plano correto é aquele cuja carência coincide com o tempo mínimo necessário para a duplicação do capital.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Juros compostos: o montante M após n períodos é dado por M = C·(1+i)ⁿ, em que C é o capital inicial e i é a taxa de juros por período (aqui, i = 0,05 ao mês).
• Logaritmo como ferramenta de resolução: quando a incógnita está no expoente (como em (1,05)ⁿ = 2), aplica-se logaritmo dos dois lados e usa-se a propriedade log(aⁿ) = n·log a para "descer" o expoente e isolar n.
• Carência: é o tempo mínimo obrigatório em que o dinheiro deve permanecer aplicado, sem qualquer movimentação. Um plano só atende ao objetivo do investidor se sua carência for compatível com o prazo necessário para atingir a meta (aqui, dobrar o capital) — nem menor (ainda não atingiria o objetivo), nem maior do que o necessário (imobilizaria o dinheiro sem motivo).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês" → define i = 0,05, logo o fator de crescimento mensal é 1,05.
• Evidência 2: "deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique" → a meta é encontrar o menor n tal que C·(1,05)ⁿ = 2C, ou seja, (1,05)ⁿ = 2.
• Evidência 3: "carência (tempo mínimo necessário... sem movimentação do cliente)" associada a cinco planos (A a E) → o plano ideal é aquele cuja carência é exatamente igual (ou a menor possível que já seja suficiente) ao número de meses calculado, evitando tanto um resgate prematuro (antes de dobrar) quanto uma imobilização desnecessária do capital após já ter dobrado.
• Síntese: o problema pede primeiro um cálculo puro de matemática financeira com logaritmos (achar n) e, em seguida, uma leitura comparativa da tabela de planos para encontrar aquele cuja carência bate certinho com esse n.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem da equação exponencial

O capital inicial é C = R$ 200,00 e a meta é atingir o dobro, M = R$ 400,00, com taxa mensal de 5% (fator 1,05):

200 × (1,05)ⁿ = 400

(1,05)ⁿ = 400 ÷ 200

(1,05)ⁿ = 2

Subpasso 4.2 — Aplicação do logaritmo

Aplicando log em ambos os lados e usando log(aⁿ) = n·log a:

log[(1,05)ⁿ] = log 2

n · log 1,05 = log 2

n = log 2 ÷ log 1,05

n = 0,30 ÷ 0,02

n = 15

Ou seja, são necessários exatamente 15 meses para que os R$ 200,00 se transformem em R$ 400,00.

Subpasso 4.3 — Verificação e escolha do plano

Comparando n = 15 com as carências oferecidas:

• Plano A: 10 meses → ao final da carência, o valor ainda não dobrou. Testando: log(1,05¹⁰) = 10 × 0,02 = 0,20 (bem menor que log 2 = 0,30), logo (1,05)¹⁰ ≈ 1,58, e o montante seria de apenas ≈ R$ 316,00 — longe da meta.
• Plano B: 15 meses → coincide exatamente com o n calculado. Ao término da carência, o valor já dobrou (R$ 400,00), sem nenhum mês de espera a mais nem a menos.
• Planos C, D e E: 20, 28 e 40 meses → todos ultrapassam os 15 meses necessários, obrigando o investidor a manter o dinheiro imobilizado além do estritamente preciso para atingir o objetivo.

A verificação confirma que apenas o Plano B sincroniza perfeitamente carência e meta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) A.

❌ Incorreta: a carência do Plano A é de 10 meses, prazo insuficiente. Nesse ponto, (1,05)¹⁰ ≈ 1,58, ou seja, o montante seria de apenas cerca de R$ 316,00 — o valor ainda não dobrou, então esse plano não atende ao objetivo de "deixar rendendo até duplicar" no seu prazo mínimo.

B) B.

✅ Correta: a carência de 15 meses é exatamente o valor de n encontrado por log 2 ÷ log 1,05 = 0,30 ÷ 0,02 = 15. É o único plano em que o fim da carência coincide precisamente com o momento em que o capital dobra, sem excesso nem falta de tempo.

C) C.

❌ Incorreta: a carência de 20 meses é maior do que o necessário. O valor já terá dobrado no 15º mês, mas o plano obriga a manter o capital aplicado sem movimentação por 5 meses a mais do que o preciso, imobilizando recursos sem necessidade.

D) D.

❌ Incorreta: com carência de 28 meses, o excesso de imobilização sobe para 13 meses além do necessário — ainda mais distante da meta de eficiência do investidor.

E) E.

❌ Incorreta: com carência de 40 meses, o excesso chega a 25 meses além do necessário, sendo o plano menos alinhado de todos com o objetivo de duplicar o capital sem prender o dinheiro por mais tempo do que o indispensável.

🏆 Gabarito: B — o cálculo logarítmico mostra que o capital dobra exatamente aos 15 meses, prazo que corresponde à carência do Plano B, tornando-o a única opção que atende ao objetivo sem excesso nem insuficiência de tempo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como n = log 2 ÷ log 1,05 = 15 meses e essa é exatamente a carência do Plano B, nenhuma outra opção sincroniza o prazo contratual com a meta financeira de duplicar o capital.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar juros compostos combinados com logaritmos decimais aproximados (log 2, log 3, log 1,05 etc.), exigindo montar M = C·(1+i)ⁿ e depois resolver n por meio de propriedades de logaritmo.
• Generalização: sempre que a incógnita estiver no expoente de uma equação de juros compostos, aplique log dos dois lados, use log(aⁿ) = n·log a e isole n = log(razão desejada) ÷ log(1+i); em seguida, compare o resultado com as opções numéricas do enunciado (prazos, planos, parcelas).
• Dica de eliminação rápida: calcule n isoladamente, sem olhar as alternativas — depois procure exatamente esse número entre as opções. Se não houver correspondência exata, escolha o menor valor que seja maior ou igual a n; isso já elimina de cara valores muito menores (insuficientes) e evita perder tempo analisando opções claramente excessivas.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de Matemática Financeira sobre tempo de quitação de dívidas, prazo para atingir metas de poupança e problemas de função exponencial/logarítmica com tabelas de aproximação de log.