Questão 161 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (sorteio sem reposição) e Análise Combinatória (combinações)
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que o segundo sorteio depende do resultado do primeiro (não há reposição do empregado sorteado)
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade de eventos sucessivos dependentes a partir de uma tabela de frequências (Competência de Área 6 do ENEM — Matemática)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sorteando 2 empregados entre 20, sem devolver o primeiro escolhido, qual a chance de os dois terem exatamente 34 anos de tempo de serviço?"
• Palavras-chave decisivas: dois deles escolhidos aleatoriamente, ambos, 34 anos de trabalho
• Armadilha típica: tratar o segundo sorteio como se fosse independente do primeiro (com reposição), multiplicando 5/20 por 5/20 — mas, ao sortear pessoas reais para uma viagem, quem já foi sorteado não volta para o grupo
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio de probabilidade condicional (ou, de forma equivalente, do cálculo por combinações) em uma extração sem reposição

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade sem reposição: quando um elemento é retirado de um grupo e não retorna a ele, a probabilidade do segundo evento é calculada sobre um universo menor (19 pessoas, não mais 20).
• Regra do "E" para eventos sucessivos dependentes: P(1º e 2º) = P(1º) × P(2º | 1º ocorreu), multiplicando as probabilidades passo a passo.
• Combinação simples: quando a ordem do sorteio não importa (não interessa quem foi sorteado primeiro ou segundo, apenas o par final), usa-se C(n, p) = n! / [p!·(n−p)!] tanto para contar os casos favoráveis quanto os casos totais.
• Leitura de tabela de frequências: a coluna "Número de empregados" indica quantas pessoas têm cada tempo de serviço específico; somando todos os valores deve-se obter o total informado no enunciado (aqui, 20).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "20 empregados dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados" → confirma que a tabela reúne 25, 27, 29, 30, 32, 34 e 35 anos de tempo de serviço, e a soma das frequências (4+1+2+2+3+5+3) deve fechar em 20.
• Evidência 2: "sendo dois deles escolhidos aleatoriamente" → o sorteio retira duas pessoas do grupo sem reposição: uma vez escolhida, a pessoa não pode ser sorteada novamente para o segundo lugar.
• Síntese: o problema pede a probabilidade de um evento composto (dois sucessos seguidos) em uma extração sem reposição; a estratégia é isolar quantos empregados têm 34 anos de tempo de serviço na tabela e comparar as chances de retirar dois deles em sequência (ou em combinação) frente ao total de pares possíveis.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Ler a tabela e isolar o grupo de interesse

A tabela de frequências fornece:

| Tempo de serviço (anos) | Número de empregados |

|---|---|

| 25 | 4 |

| 27 | 1 |

| 29 | 2 |

| 30 | 2 |

| 32 | 3 |

| 34 | 5 |

| 35 | 3 |

Conferindo o total: 4 + 1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 3 = 20 empregados, exatamente o número citado no enunciado. Dos 20, 5 empregados têm 34 anos de tempo de serviço — esse é o grupo favorável ao evento pedido.

Subpasso 4.2 — Calcular a probabilidade do evento composto (sem reposição)

Como os dois sorteados saem do mesmo grupo sem devolução, a probabilidade do primeiro sorteado ter 34 anos é 5/20 (5 favoráveis em 20 pessoas). Uma vez sorteado esse empregado, restam 19 pessoas no total e apenas 4 delas ainda têm 34 anos de tempo de serviço. Logo:

P(1º tem 34 anos) = 5/20

P(2º tem 34 anos | 1º já tinha 34 anos) = 4/19

P(ambos com 34 anos) = 5/20 × 4/19 = 20/380 = 1/19

Subpasso 4.3 — Verificação por combinação (caminho alternativo)

O mesmo resultado é obtido contando pares, sem se preocupar com a ordem do sorteio:

• Casos favoráveis: escolher 2 pessoas dentre as 5 que têm 34 anos → C(5,2) = (5×4)/2 = 10
• Casos totais: escolher 2 pessoas dentre as 20 do grupo → C(20,2) = (20×19)/2 = 190

P = C(5,2) / C(20,2) = 10/190 = 1/19

Os dois caminhos — probabilidade condicional sequencial e razão de combinações — convergem exatamente para 1/19, confirmando a consistência do resultado antes de comparar com as alternativas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/20

❌ Incorreta: essa fração surge de um erro no cálculo do total de pares possíveis — por exemplo, ao tratar o denominador como se fossem 200 pares (aproximando incorretamente 20×20/2) em vez dos 190 pares reais dados por C(20,2) = 20×19/2. O erro de "esquecer" que, após a primeira retirada, restam apenas 19 pessoas infla o denominador e reduz artificialmente a probabilidade.

B) 1/19

✅ Correta: é o resultado exato de P = 5/20 × 4/19 = C(5,2)/C(20,2) = 10/190 = 1/19, respeitando que a segunda extração ocorre sobre um grupo de 19 pessoas (sem reposição) e que apenas 4 delas ainda têm 34 anos após o primeiro sorteado sair do grupo.

C) 1/16

❌ Incorreta: essa é a armadilha central da questão — corresponde a calcular (5/20) × (5/20) = 1/4 × 1/4 = 1/16, ou seja, tratar o sorteio como se houvesse reposição, mantendo 5 favoráveis em 20 pessoas nas duas extrações. Isso ignora que, na prática, quem já foi sorteado para a viagem sai do grupo de elegíveis para o segundo lugar.

D) 2/20

❌ Incorreta: essa fração corresponde ao raciocínio ingênuo de comparar diretamente "quantas pessoas são sorteadas" (2) com "quantas pessoas há no total" (20), sem considerar de fato a condição de que ambas precisam ter 34 anos de tempo de serviço nem aplicar a estrutura combinatória correta do problema.

E) 5/20

❌ Incorreta: essa é a probabilidade de apenas o primeiro sorteado ter 34 anos de tempo de serviço (5 favoráveis em 20). O erro é interromper o raciocínio após o primeiro evento e esquecer de multiplicar pela probabilidade condicional do segundo sorteado também ter 34 anos — a palavra "ambos" no enunciado exige os dois sucessos combinados, não apenas um.

🏆 Gabarito: B — P(ambos com 34 anos) = 5/20 × 4/19 = 10/190 = 1/19, resultado confirmado tanto pela probabilidade condicional sequencial quanto pela razão de combinações C(5,2)/C(20,2).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única que respeita simultaneamente a leitura correta da tabela (5 empregados com 34 anos, total 20) e a ausência de reposição na segunda extração, resultando em 1/19.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cruzar leitura de tabelas/gráficos de frequência com probabilidade de sorteios sucessivos, testando se o candidato distingue extrações com e sem reposição — um padrão recorrente tanto na aplicação regular quanto na PPL.
• Generalização: sempre que o enunciado envolver "sorteio de pessoas/objetos sem devolução", a probabilidade do segundo evento deve ser recalculada sobre um universo reduzido em uma unidade (e o grupo favorável também reduzido, se o primeiro sucesso pertencia a ele); a checagem por combinações C(n,p) é uma ótima forma de validar o resultado.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa é exatamente igual à probabilidade de um único sorteio (aqui, 5/20), ela ignora a palavra "ambos" e pode ser eliminada de cara; se o resultado bate com o quadrado da fração simples (5/20)², desconfie de erro de reposição indevida.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "retirar duas bolas de uma urna sem reposição" e em cálculos de probabilidade condicional com a fórmula P(A∩B) = P(A)·P(B|A), temas frequentes em Matemática no ENEM.