Questão 165 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e proporção aplicadas a problemas de custo com função definida por partes
• ⚡ Nível: Médio — exige encadear várias etapas (taxa de rendimento, conversão de unidades, regra de cobrança por faixas e testagem de valores) sem nenhuma delas ser, isoladamente, complexa
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade e resolução de situação-problema com restrição orçamentária (Competência de Área 5 — grandezas e suas relações)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas vezes, no máximo, o pintor consegue pintar a área de 260 m² sem que o custo total ultrapasse o orçamento de R$ 4.600,00?"
• Palavras-chave decisivas: maior número possível de vezes, orçamento de R$ 4.600,00, último dia
• Armadilha típica: aplicar a regra do "último dia" (cobrança pela metade se trabalhar até 4h) a cada repetição da pintura, em vez de aplicá-la uma única vez, sobre o resto de horas do total do serviço inteiro.
• O que a resposta precisa demonstrar: o cálculo correto da taxa de pintura (m² por hora), a conversão do total de horas necessárias em dias de trabalho, a aplicação da regra de cobrança por faixas no resto de horas e a comparação sistemática com o orçamento disponível para achar o maior N possível.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão/taxa de trabalho: relação entre área pintada e tempo gasto (m²/hora), usada para prever quanto tempo qualquer área exigirá.
• Função definida por partes (custo por faixas): o valor cobrado no último dia de serviço depende do intervalo em que a fração de horas trabalhadas se encaixa (até 4h ou mais de 4h).
• Divisão euclidiana (quociente e resto): o total de horas de um serviço se decompõe em dias completos (quociente) e horas restantes (resto), que é exatamente o que decide a cobrança do último dia.
• Otimização com restrição: o cliente quer o maior N (número de repetições) tal que custo(N) ≤ orçamento — a estratégia é testar valores crescentes de N até o custo ultrapassar o limite.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cobra R$ 240,00 por dia de trabalho, que equivale a 8 horas" → define o valor da diária e a duração-padrão do dia de serviço (base para toda a conta de custo).
• Evidência 2: "caso trabalhe até 4 horas, cobra metade... caso trabalhe mais de 4 horas, cobra o valor de um dia inteiro" → regra de arredondamento que se aplica apenas ao resto de horas do total trabalhado no serviço, não a cada "camada" de tinta separadamente.
• Evidência 3: "gasta 8 horas para pintar uma vez uma área de 40 m²" → fornece a taxa de rendimento do pintor: 40 m² a cada 8 horas.
• Evidência 4: "pintada o maior número possível de vezes... orçamento... R$ 4.600,00" → o problema pede o maior número inteiro N de repetições completas da pintura de 260 m² cujo custo total não ultrapasse R$ 4.600,00.
• Síntese: basta transformar "quantas vezes pintar 260 m²" em "quantas horas de trabalho isso exige", converter essas horas em dias (usando a regra do último dia) e comparar o custo resultante com o teto de R$ 4.600,00, testando N = 1, 2, 3…

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Taxa de rendimento do pintor

O enunciado informa que 8 horas de trabalho pintam 40 m². Logo, a taxa de rendimento é:

40 m² ÷ 8 h = 5 m²/hora

Isso significa que, para pintar a área do cliente (260 m²) uma única vez, o tempo necessário é:

260 m² ÷ 5 m²/h = 52 horas

Subpasso 4.2 — Modelando o custo para N repetições

Se o cliente quer pintar a área N vezes, o total de horas de trabalho é:

H(N) = 52 × N horas

Convertendo H(N) em dias completos de 8h, com resto r (0 ≤ r < 8):

H(N) = 8·q + r

E a regra de cobrança do enunciado se traduz em:

• se r = 0 → custo = 240·q (só dias cheios, sem sobra de horas)
• se 0 < r ≤ 4 → custo = 240·q + 120 (dias cheios + meia diária no resto)
• se r > 4 → custo = 240·q + 240 (dias cheios + diária inteira no resto)

Subpasso 4.3 — Testando N crescente até estourar o orçamento

N = 1: H = 52 h = 8×6 + 4 → q = 6, r = 4 (≤ 4h) → Custo = 240×6 + 120 = R$ 1.560,00 (cabe, com folga)

N = 2: H = 104 h = 8×13 + 0 → q = 13, r = 0 → Custo = 240×13 = R$ 3.120,00 (ainda cabe nos R$ 4.600,00)

N = 3: H = 156 h = 8×19 + 4 → q = 19, r = 4 (≤ 4h) → Custo = 240×19 + 120 = 4.560 + 120 = R$ 4.680,00 (ultrapassa o orçamento em R$ 80,00)

Subpasso 4.4 — Verificação

O custo cresce de forma determinística com o número de dias trabalhados — não há como "economizar" horas dentro da regra dada. Pintar 3 vezes exige, obrigatoriamente, R$ 4.680,00, R$ 80,00 além do orçamento. Já pintar 2 vezes custa R$ 3.120,00 e cabe com folga. Logo, o maior número possível de repetições é 2, confirmando a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1

❌ Incorreta: pintar a área apenas uma vez custaria R$ 1.560,00, valor bem abaixo do orçamento de R$ 4.600,00. Como ainda sobrariam R$ 3.040,00 — suficientes para bancar uma segunda pintura completa (R$ 3.120,00 no total acumulado) —, essa alternativa subutiliza o orçamento e não representa o "maior número possível de vezes".

B) 2

✅ Correta: pintar a área duas vezes custa exatamente R$ 3.120,00, dentro do limite de R$ 4.600,00. Uma terceira repetição elevaria o custo para R$ 4.680,00, ultrapassando o orçamento em R$ 80,00. Logo, 2 é o maior número de repetições completas que o cliente pode pagar.

C) 3

❌ Incorreta: exigiria R$ 4.680,00, valor que excede o orçamento de R$ 4.600,00. Esse erro costuma surgir de esquecer que, mesmo o resto de horas sendo pequeno (4h no último dia), ele ainda gera uma cobrança adicional de meia diária (R$ 120,00), que empurra o total para além do limite disponível.

D) 5

❌ Incorreta: pintar a área 5 vezes exigiria 260 horas de trabalho (32 dias completos + 4h), resultando em um custo de R$ 7.800,00 — mais de 1,5 vez o orçamento disponível. Esse valor só pareceria plausível se o candidato ignorasse a taxa real de rendimento (5 m²/hora) ou não convertesse corretamente a área total em horas de serviço.

E) 6

❌ Incorreta: pintar a área 6 vezes exigiria 312 horas de trabalho (39 dias completos, sem resto), custando R$ 9.360,00 — mais que o dobro do orçamento. Esse resultado costuma aparecer quando o candidato superestima o rendimento do pintor ou aplica a diária de R$ 240,00 apenas uma vez para todo o serviço, em vez de multiplicá-la pelo número real de dias trabalhados.

🏆 Gabarito: B — pintar a área duas vezes custa R$ 3.120,00 (dentro do orçamento), enquanto uma terceira repetição custaria R$ 4.680,00, ultrapassando os R$ 4.600,00 disponíveis; logo, 2 é o maior número de vezes possível.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente N = 2 satisfaz simultaneamente a condição de ser o maior valor inteiro e respeitar o teto orçamentário de R$ 4.600,00; N = 1 desperdiça orçamento e N = 3 (ou mais) o ultrapassa.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente combina razão/proporção com uma "tabela de preços por faixa" (aqui, o valor do último dia), testando se o candidato consegue transformar uma regra verbal em uma condição matemática (r ≤ 4 ou r > 4) e aplicá-la corretamente ao problema.
• Generalização: em problemas de "quantas vezes cabe no orçamento", a estratégia mais segura é sempre calcular o custo de cada quantidade inteira em ordem crescente (N = 1, 2, 3…) até o primeiro valor que ultrapassa o limite — a resposta é sempre o último valor que ainda coube.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o custo do caso mais simples (N = 1 ou N = 2, que costuma dar número redondo de dias) para descartar de imediato as alternativas absurdamente altas (como D e E), que normalmente resultam de erro de conversão de unidades (m² ↔ horas) e não de erro na regra de cobrança.
• Conexões: este tipo de questão se conecta a problemas de "razão e proporção com restrição de recursos" (como litros de tinta por m², rendimento de combustível por km) e a problemas de "função por partes" que aparecem em contas de água, luz e tarifas com faixas de consumo.