Questão 164 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sequências (Progressão Aritmética) e conversão de unidades de tempo
• ⚡ Nível: Médio — exige ler uma tabela, identificar um padrão numérico escondido e converter horas/minutos/segundos sem errar o "vai um"
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer regularidades numéricas em contextos reais (H21/H22 — Matemática e suas Tecnologias) usando progressão aritmética disfarçada de tabela de corrida
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra o tempo total que o corredor gastou até o último posto, sabendo como seu atraso evoluiu nos quatro primeiros postos."
• Palavras-chave decisivas: tempo previsto sempre de 5 min 15 s, quatro primeiros postos, último posto (final do trajeto)
• Armadilha típica: achar que o "..." na tabela significa "só falta mais um posto" e aplicar o atraso do 5º posto direto no tempo previsto final, sem calcular quantos postos realmente existem até lá.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair um padrão (o atraso cresce 12 s a cada posto), calcular corretamente quantos postos existem até o final do trajeto e somar esse atraso ao tempo previsto informado, com conversão de unidades sem erro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão aritmética (PA): sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma (a razão). Aqui, os atrasos acumulados 12 s, 24 s, 36 s, 48 s... formam uma PA de razão 12 s.
• Termo geral da PA: aₙ = a₁ + (n − 1)·r, ou, de forma equivalente quando a₁ = r, aₙ = n·r. É essa fórmula que permite prever o atraso em qualquer posto sem precisar listar todos.
• Conversão de tempo: 1 h = 3600 s e 1 min = 60 s. Transformar tudo em segundos evita erros de "vai um" na soma final e facilita divisões.
• Raciocínio proporcional (tempo previsto constante): como cada trecho entre postos tem sempre o mesmo tempo previsto (5 min 15 s = 315 s), o tempo previsto acumulado até o posto n é simplesmente 315 × n segundos — uma regra de três disfarçada de PA de razão constante e a₁ = razão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o tempo previsto para percorrer a distância entre dois postos de verificação consecutivos seja sempre de 5 min 15 s" → todo trecho tem duração prevista idêntica (315 s); logo o tempo previsto acumulado até o posto n é 315n segundos.
• Evidência 2 (tabela): os tempos obtidos superam os previstos em 12 s, 24 s, 36 s e 48 s nos postos 1, 2, 3 e 4 → o atraso acumulado cresce exatamente 12 s por posto, ou seja, atraso(n) = 12n segundos.
• Evidência 3 (tabela): o tempo previsto do "Último posto (final do trajeto)" é dado como 1 h 55 min 30 s, e o tempo obtido nesse posto é a incógnita da questão.
• Síntese: basta descobrir qual é o número n desse último posto (usando a Evidência 1) e depois aplicar o atraso correspondente a esse n (usando a Evidência 2) somado ao tempo previsto final.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Converter tudo para segundos e confirmar o padrão

Tempo previsto por trecho: 5 min 15 s = 5×60 + 15 = 315 s.

Atrasos observados (tempo obtido − tempo previsto) em cada posto:

• 1º posto: 5 min 27 s − 5 min 15 s = 12 s
• 2º posto: 10 min 54 s − 10 min 30 s = 24 s
• 3º posto: 16 min 21 s − 15 min 45 s = 36 s
• 4º posto: 21 min 48 s − 21 min 00 s = 48 s

Os atrasos formam a PA (12, 24, 36, 48, ...), de razão r = 12 s, com termo geral:

atraso(n) = 12 × n segundos

Subpasso 4.2 — Descobrir em qual posto está o final do trajeto

O tempo previsto acumulado até o posto n é 315 × n segundos (Evidência 1). O enunciado informa que o tempo previsto do último posto é 1 h 55 min 30 s. Convertendo:

1 h 55 min 30 s = 3600 + 55×60 + 30 = 6930 s

Igualando: 315 × n = 6930 → n = 6930 ÷ 315 = 22

Ou seja, o "final do trajeto" é exatamente o 22º posto — não o 5º, como uma leitura apressada do "..." poderia sugerir.

Subpasso 4.3 — Calcular o atraso no 22º posto e obter o tempo total

Usando o termo geral da PA: atraso(22) = 12 × 22 = 264 s = 4 min 24 s

Tempo obtido no último posto = tempo previsto + atraso:

1 h 55 min 30 s + 4 min 24 s = 1 h 59 min 54 s

Verificação: 6930 s + 264 s = 7194 s. Convertendo de volta: 7194 ÷ 3600 = 1 h (resto 3594 s); 3594 ÷ 60 = 59 min (resto 54 s) → 1 h 59 min 54 s, exatamente a alternativa C. ✔

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 h 55 min 42 s.

❌ Incorreta: resulta de somar apenas os 12 s de atraso do 1º posto diretamente ao tempo previsto final (6930 + 12 = 6942 s), tratando o atraso como um valor fixo em vez de reconhecer que ele cresce a cada posto (padrão de PA). Ignora completamente que o atraso depende de qual posto está sendo analisado.

B) 1 h 56 min 30 s.

❌ Incorreta: nasce da leitura apressada do "..." da tabela, como se o último posto fosse simplesmente o 5º posto (o próximo após os quatro mostrados). Aplicando a fórmula corretamente, porém com n = 5: atraso(5) = 12×5 = 60 s, e 6930 + 60 = 6990 s = 1 h 56 min 30 s. O erro conceitual é não calcular n a partir do tempo previsto final (6930 ÷ 315), assumindo em vez disso que só falta "mais um posto".

C) 1 h 59 min 54 s.

✅ Correta: é o resultado exato de identificar n = 22 (315 × 22 = 6930 s) e aplicar o atraso correspondente, atraso(22) = 264 s, somando ao tempo previsto final: 1 h 55 min 30 s + 4 min 24 s = 1 h 59 min 54 s.

D) 2 h 05 min 09 s.

❌ Incorreta: surge de um erro de contagem por "um posto a mais" aplicado de forma inconsistente. Se o candidato usa n = 23 para o tempo previsto (315×23 = 7245 s) mas mantém o atraso calculado para n = 22 (264 s), obtém 7245 + 264 = 7509 s = 2 h 05 min 09 s — equivalente a pegar a resposta correta e, por engano, somar um trecho previsto inteiro (5 min 15 s) a mais.

E) 2 h 05 min 21 s.

❌ Incorreta: também vem do erro de contar um posto a mais (n = 23 em vez de 22), mas aplicado de forma consistente tanto ao tempo previsto quanto ao atraso: 315×23 + 12×23 = 327×23 = 7521 s = 2 h 05 min 21 s. Equivale a multiplicar o "ritmo obtido" constante do corredor (5 min 27 s = 327 s por trecho) por 23 trechos em vez dos 22 corretos — um clássico erro de contagem (off-by-one) ao definir onde a sequência de postos termina.

🏆 Gabarito: C — o tempo obtido no último posto é 1 h 59 min 54 s, resultado de reconhecer que o último posto é o 22º (não o 5º) e que o atraso acumulado nesse posto, seguindo a PA de razão 12 s, é de 4 min 24 s.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra C usa corretamente os dois pilares da questão — a descoberta de que o trajeto tem 22 trechos (via 6930 ÷ 315) e a aplicação do atraso certo para esse posto (12 × 22 = 264 s); qualquer outro n ou qualquer atraso tratado como constante gera as demais alternativas.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esconder uma PA dentro de um contexto cotidiano (corridas, contas de água/luz, parcelamentos, crescimento populacional). A tarefa real do aluno é primeiro identificar a regularidade numérica escondida nos dados e só depois aplicar a fórmula.
• Generalização: sempre que uma tabela mostrar valores "previsto vs. obtido" (ou qualquer par de sequências) crescendo em passos constantes, calcule a diferença entre termos consecutivos primeiro — se ela for constante, você tem uma PA e pode usar aₙ = a₁ + (n−1)r para "pular" direto ao termo que interessa, sem listar todos os termos intermediários.
• Dica de eliminação rápida: converta tudo para segundos antes de qualquer conta — isso elimina erros de "vai um" entre minutos e segundos, que são justamente o que separa as alternativas D e E (mesma ideia, com um posto a mais contado de dois jeitos diferentes).
• Conexões: progressão geométrica em contextos de juros/crescimento exponencial; interpretação de tabelas e gráficos em questões de estatística; conversão de unidades em problemas de física (também recorrente no ENEM).