Questão 151 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas diretamente e inversamente proporcionais (proporcionalidade composta com potências)
• ⚡ Nível: Difícil — exige substituir simultaneamente quatro variáveis com expoentes diferentes (4, 3 e 1) numa mesma fórmula, sem trocar o sentido de nenhuma proporção
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de fórmulas físicas em contexto de proporcionalidade múltipla (competência de área 5 — grandezas e suas relações)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Substitua as novas medidas (D2, d2, N2, G2) na fórmula da constante elástica e escreva C2 em função de C1."
• Palavras-chave decisivas: "D2 = D1/3", "d2 = 3d1", "N2 = 9N1", "G2 = 4G1"
• Armadilha típica: inverter o sentido da proporcionalidade de D e de N (que são inversamente proporcionais a C) e tratá-las como se fossem diretamente proporcionais, ou esquecer de elevar d e D aos expoentes corretos (4 e 3) mostrados na fórmula da figura.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar, na fórmula, quem está no numerador (proporcional) e quem está no denominador (inversamente proporcional), e aplicar corretamente cada expoente ao montar a razão C2/C1.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Fórmula da constante elástica da mola: C = (G·d⁴)/(8·D³·N), em que G é o módulo de elasticidade transversal do material, d é o diâmetro do fio, D é o diâmetro médio da mola e N é o número de espirais úteis. Essa é a fórmula mostrada na figura do enunciado.
• Proporcionalidade direta: quando uma grandeza está no numerador da fórmula, ao multiplicá-la por um fator k, o resultado final também é multiplicado por esse fator elevado ao expoente correspondente. Aqui, G (expoente 1) e d (expoente 4) são diretamente proporcionais a C.
• Proporcionalidade inversa: quando a grandeza está no denominador, multiplicá-la por k faz o resultado ser dividido por k elevado ao expoente correspondente. Aqui, D (expoente 3) e N (expoente 1) são inversamente proporcionais a C.
• Método da razão (C2/C1): em vez de recalcular C2 do zero, monta-se o quociente C2/C1 e cada variável entra como uma razão isolada (valor novo dividido pelo antigo), elevada ao seu próprio expoente na fórmula — isso simplifica drasticamente as contas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "D2 = D1/3" → o diâmetro médio da mola foi dividido por 3; como D está no denominador com expoente 3, isso faz a razão (D1/D2)³ valer 3³ = 27 (fator que aumenta C).
• Evidência 2: "d2 = 3d1" → o diâmetro do fio triplicou; como d está no numerador com expoente 4, a razão (d2/d1)⁴ vale 3⁴ = 81 (fator que aumenta C ainda mais).
• Evidência 3: "N2 = 9N1" e "G2 = 4G1" → N está no denominador com expoente 1, então (N1/N2) = 1/9 reduz C; já G está no numerador com expoente 1, então G2/G1 = 4 aumenta C.
• Síntese: a questão pede para combinar quatro fatores multiplicativos simultâneos — dois que aumentam C (d e G) e dois que, isoladamente, tenderiam a reduzir C (D e N) — mas que aqui, por causa dos expoentes altos de D e d, o resultado final é um aumento expressivo de C2 em relação a C1.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a fórmula e montar a razão C2/C1

A fórmula fornecida na figura é:

C = (G · d⁴) / (8 · D³ · N)

Logo:

C1 = (G1 · d1⁴) / (8 · D1³ · N1)

C2 = (G2 · d2⁴) / (8 · D2³ · N2)

Dividindo C2 por C1, o fator constante "8" cancela, restando:

C2/C1 = (G2/G1) × (d2/d1)⁴ × (D1/D2)³ × (N1/N2)

Repare que D e N aparecem invertidos (D1/D2 e N1/N2, não D2/D1 e N2/N1) porque estão no denominador da fórmula original — essa inversão é o ponto crítico da questão.

Subpasso 4.2 — Substituir cada razão pelos valores dados

• G2/G1 = 4 (dado diretamente no enunciado)
• d2/d1 = 3d1/d1 = 3 → (d2/d1)⁴ = 3⁴ = 81
• D2/D1 = (D1/3)/D1 = 1/3 → logo D1/D2 = 3 → (D1/D2)³ = 3³ = 27
• N2/N1 = 9N1/N1 = 9 → logo N1/N2 = 1/9

Substituindo na razão:

C2/C1 = 4 × 81 × 27 × (1/9)

Subpasso 4.3 — Verificação (cálculo final e conferência com as alternativas)

Calculando em etapas para evitar erro de arredondamento:

4 × 81 = 324

324 × 27 = 8748

8748 × (1/9) = 972

Portanto: C2/C1 = 972, ou seja, C2 = 972 · C1.

Conferindo com as alternativas da figura — C2 = 972·C1 é exatamente a opção A. O resultado bate perfeitamente, confirmando que a mola M2 terá uma constante elástica quase mil vezes maior que a original, efeito dominado principalmente pela quarta potência do diâmetro do fio (d⁴) e pela terceira potência do diâmetro médio (D³), que compensam de sobra a redução trazida pelo aumento de N.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) C2 = 972 · C1

✅ Correta: é o resultado exato de C2/C1 = (G2/G1)·(d2/d1)⁴·(D1/D2)³·(N1/N2) = 4 × 81 × 27 × (1/9) = 972, respeitando os expoentes corretos (d⁴, D³, N¹) e o sentido correto de cada proporcionalidade (direta para G e d; inversa para D e N).

B) C2 = 108 · C1

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro clássico de inversão — tratar D e N como se fossem diretamente proporcionais a C (usando D2/D1 = 1/3 e N2/N1 = 9 em vez de seus inversos), ou então usar um expoente errado (como d² em vez de d⁴). Em ambos os casos, o candidato perde a noção de que D e N estão no denominador da fórmula original.

C) C2 = 4 · C1

❌ Incorreta: corresponde a memorizar a fórmula sem os expoentes corretos (como se fosse C ∝ G·d/(D·N), todos elevados a 1). Ao fazer isso, os fatores de d, D e N praticamente se cancelam entre si e sobra apenas o efeito de G2 = 4G1, ignorando que d tem expoente 4 e D tem expoente 3 na fórmula real.

D) C2 = (4/3) · C1

❌ Incorreta: resulta de esquecer completamente a variação do diâmetro do fio (d) e de usar expoente 1 (em vez de 3) para D, calculando apenas 4 × (D1/D2) × (N1/N2) = 4 × 3 × (1/9) = 4/3. É um erro por omissão de variável combinado com expoente trocado.

E) C2 = (4/9) · C1

❌ Incorreta: nasce de considerar apenas as variações de G e de N (ignorando d e D, como se elas se cancelassem exatamente), calculando 4 × (N1/N2) = 4 × (1/9) = 4/9. Ignora dois dos quatro fatores da fórmula, os que mais pesam no resultado final.

🏆 Gabarito: A — C2 = 972 · C1 é o único valor coerente com a substituição correta de todas as razões na fórmula C = (G·d⁴)/(8·D³·N), respeitando os expoentes (4, 3, 1) e o sentido de cada proporcionalidade (direta para G e d; inversa para D e N).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A preserva simultaneamente os quatro expoentes corretos da fórmula (G¹, d⁴, D³, N¹) e o sentido certo de cada proporcionalidade; qualquer simplificação, inversão ou esquecimento de variável leva a um dos outros quatro valores.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma testar "fórmulas com várias variáveis" pedindo para o aluno prever o efeito de alterar todas elas ao mesmo tempo — a armadilha está sempre em variáveis que ficam no denominador (aqui, D e N), que exigem inverter a razão antes de aplicar o expoente.
• Generalização: para qualquer fórmula do tipo Y = (A^p · B^q)/(C^r · D^s), a razão Y2/Y1 é sempre (A2/A1)^p × (B2/B1)^q × (C1/C2)^r × (D1/D2)^s — variáveis do numerador entram "na ordem normal" (novo/velho); variáveis do denominador entram "invertidas" (velho/novo).
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular tudo, verifique o sinal do expoente de cada variável na fórmula. Se D e N estão no denominador e ambas aumentaram (ou uma aumentou e outra diminuiu na proporção errada), o candidato que "inverteu" a lógica cairá automaticamente em B, D ou E — basta refazer mentalmente qual razão (nova/velha ou velha/nova) cada variável exige.
• Conexões: essa mesma lógica de "razão composta com expoentes" aparece em questões de Física sobre Lei da Gravitação Universal (F ∝ m1m2/d²), em Química sobre Lei de Coulomb, e em outras questões de Matemática sobre grandezas direta e inversamente proporcionais compostas (ex.: vazão, densidade, potência elétrica P = V²/R).