Questão 137 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (paralelepípedo retângulo, área de superfície total e sólidos inscritos)
• ⚡ Nível: Médio — exige comparar seis grandezas (as três dimensões de cada caixa) contra um critério geométrico antes de calcular área, o que aumenta a chance de erro por pressa.
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de superfície de paralelepípedos associada à condição de uma esfera caber dentro do sólido — competência de resolver situação-problema que envolve conhecimentos geométricos de espaço e forma.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as caixas do quadro, qual é a única que consegue guardar a bola de 11 cm de raio e, ao mesmo tempo, gasta a menor quantidade de papelão (menor área total)?"
• Palavras-chave decisivas: comporte a encomenda, sem deformá-la, menor área de superfície total
• Armadilha típica: calcular a área de todas as cinco caixas e escolher direto a menor, ignorando que várias delas nem conseguem conter a esfera — a menor área só deve ser buscada dentro do grupo de caixas que efetivamente cabem o objeto.
• O que a resposta precisa demonstrar: primeiro filtrar as caixas geometricamente compatíveis com a esfera e, só depois, comparar as áreas totais apenas entre essas sobreviventes.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Esfera inscrita em um paralelepípedo: para uma esfera de diâmetro d caber dentro de uma caixa retangular sem se deformar, cada uma das três arestas da caixa (comprimento, largura e altura) precisa ser maior ou igual a d. Se qualquer aresta for menor que o diâmetro, a bola simplesmente não passa por aquela dimensão.
• Diâmetro a partir do raio: o diâmetro é sempre o dobro do raio (d = 2r). Esse é o número que efetivamente compara com as arestas da caixa, não o raio isolado.
• Área total de um paralelepípedo retângulo: um paralelepípedo de arestas a, b e c tem 6 faces retangulares organizadas em 3 pares congruentes, logo A = 2(ab + ac + bc). Quando as três arestas são iguais (cubo), a fórmula se simplifica para A = 6a².

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "objeto esférico com 11 cm de raio" → o diâmetro da bola é 2 × 11 = 22 cm; esse é o valor mínimo que cada dimensão da caixa escolhida precisa atingir.
• Evidência 2: "que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda" → condição de exclusão: toda caixa com alguma aresta menor que 22 cm está automaticamente fora da disputa, mesmo que sua área total seja pequena.
• Evidência 3 (quadro de dimensões): a tabela traz 5 modelos de caixa com comprimento, largura e altura em centímetros — são esses números que precisam ser confrontados, aresta por aresta, com os 22 cm do diâmetro.
• Síntese: o problema é, na prática, dividido em duas etapas obrigatórias e sequenciais — (1) eliminar as caixas que não comportam a esfera e (2) entre as que sobrarem, calcular a área total e escolher a menor.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o diâmetro da esfera e definir o critério de corte

O raio da encomenda esférica é 11 cm, logo o diâmetro é d = 2 × 11 = 22 cm. Para a bola caber em uma caixa de dimensões a × b × c sem deformação, é necessário que a ≥ 22, b ≥ 22 e c ≥ 22 simultaneamente. Esse é o filtro que será aplicado às cinco caixas do quadro:

| Modelo | Comprimento | Largura | Altura | Cabe a esfera (todas ≥ 22)? |

|---|---|---|---|---|

| 1 | 12 | 12 | 13 | ❌ Não (todas < 22) |

| 2 | 23 | 20 | 25 | ❌ Não (largura = 20 < 22) |

| 3 | 25 | 25 | 25 | ✅ Sim |

| 4 | 26 | 25 | 24 | ✅ Sim |

| 5 | 23 | 26 | 26 | ✅ Sim |

Os modelos 1 e 2 já saem da disputa nesta etapa: o modelo 1 é pequeno demais em todas as arestas, e o modelo 2 tem largura de 20 cm — 2 cm a menos que o diâmetro necessário, o que impede o fechamento da caixa sem esmagar a bola.

Subpasso 4.2 — Calcular a área total apenas dos modelos que sobreviveram ao filtro (3, 4 e 5)

Modelo 3 (25 × 25 × 25 — um cubo):

A₃ = 6 × 25² = 6 × 625 = 3750 cm²

Modelo 4 (26 × 25 × 24):

A₄ = 2(26×25 + 26×24 + 25×24) = 2(650 + 624 + 600) = 2 × 1874 = 3748 cm²

Modelo 5 (23 × 26 × 26):

A₅ = 2(23×26 + 23×26 + 26×26) = 2(598 + 598 + 676) = 2 × 1872 = 3744 cm²

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar as três áreas e confirmar o mínimo

Colocando as três áreas válidas em ordem: A₅ = 3744 cm² < A₄ = 3748 cm² < A₃ = 3750 cm². O modelo 5 é o que usa menos papelão entre as caixas capazes de guardar a esfera de 22 cm de diâmetro. Repare que a diferença entre as três áreas é pequena (apenas alguns centímetros quadrados), o que reforça a importância de fazer a conta com cuidado e não "chutar" pela caixa de aparência mais compacta — o cubo (modelo 3), por exemplo, parece a opção mais "equilibrada", mas na verdade é a que gasta mais material.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Nas alternativas do gabarito oficial, os modelos de caixa 1, 2, 3, 4 e 5 do quadro correspondem, respectivamente, às letras A, B, C, D e E.

A) Modelo de caixa 1 (12 cm × 12 cm × 13 cm)

❌ Incorreta: nenhuma das três arestas atinge os 22 cm de diâmetro exigidos pela esfera de 11 cm de raio; a caixa não comporta a encomenda de forma alguma, independentemente de sua área ser a menor de todas.

B) Modelo de caixa 2 (23 cm × 20 cm × 25 cm)

❌ Incorreta: embora o comprimento (23 cm) e a altura (25 cm) sejam suficientes, a largura de 20 cm é menor que os 22 cm necessários — a esfera não passa nessa dimensão, então a caixa fica de fora mesmo antes de qualquer comparação de área.

C) Modelo de caixa 3 (25 cm × 25 cm × 25 cm)

❌ Incorreta: essa caixa cúbica comporta a esfera (todas as arestas ≥ 22 cm), mas sua área total é 3750 cm², a maior entre os três modelos válidos — não é a de menor gasto de material.

D) Modelo de caixa 4 (26 cm × 25 cm × 24 cm)

❌ Incorreta: também comporta a esfera, com área total de 3748 cm². É intermediária entre os modelos 3 e 5, mas ainda maior que a área do modelo 5, então não atende ao critério de menor superfície.

E) Modelo de caixa 5 (23 cm × 26 cm × 26 cm)

✅ Correta: comporta a esfera (todas as arestas ≥ 22 cm) e apresenta a menor área de superfície total entre as caixas compatíveis, com 3744 cm² — 4 cm² a menos que o modelo 4 e 6 cm² a menos que o modelo 3.

🏆 Gabarito: E — depois de eliminar os modelos 1 e 2 (que não comportam a esfera de 22 cm de diâmetro) e comparar as áreas totais dos modelos 3, 4 e 5, o modelo 5 apresenta a menor área de superfície (3744 cm²), sendo a escolha ideal da empresa.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única alternativa que atende simultaneamente às duas exigências do enunciado — caber a esfera sem deformação e ter a menor área de superfície entre as caixas que cumprem essa condição.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de combinar um critério de restrição geométrica (aqui, "a esfera precisa caber") com uma otimização (aqui, "menor área"), obrigando o estudante a executar duas etapas em sequência — filtrar e só depois otimizar — em vez de resolver a questão com uma única conta direta.
• Generalização: sempre que um sólido "precisa caber" dentro de outro sem deformação, compare a maior dimensão do objeto interno com cada uma das dimensões do sólido externo; no caso da esfera, essa dimensão de referência é sempre o diâmetro (2r), nunca o raio isolado.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular qualquer área, converta o raio em diâmetro e risque de cara todas as caixas que tenham alguma aresta menor que esse valor — isso costuma eliminar metade das alternativas em poucos segundos, sobrando apenas 2 ou 3 candidatas para comparar.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "filtrar por encaixe, depois otimizar por área/volume" aparece em questões de embalagens cilíndricas (latas em caixas) e em problemas de volume mínimo de recipiente para objetos irregulares — vale revisar fórmulas de área total de prismas e a relação raio-diâmetro em conjunto.