Questão 170 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Geometria espacial → volume de cilindro e de cubo
• Habilidade: H12 — resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas
• Nível: Médio — as fórmulas são simples, mas são quatro volumes diferentes e um deles se repete três vezes
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: quanto refrigerante cabe no copo depois de o gelo e o limão já estarem lá dentro.
• Palavras-chave decisivas: volume máximo, totalmente imersos, dimensões inalteradas, use 3 como aproximação para π.
• A armadilha: calcular o volume do copo e parar. O enunciado prepara essa queda ao dar todas as medidas do copo primeiro e só depois falar dos sólidos.
• O que a resposta precisa mostrar: que você entende que corpo submerso ocupa espaço e que esse espaço tem de ser descontado.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Volume do cilindro: V = π × r² × h, em que r é o raio da base e h é a altura. O enunciado dá o diâmetro, não o raio — e r = d ÷ 2. Trocar um pelo outro quadruplica ou divide por quatro o resultado.
• Volume do cubo: V = a³, em que a é a aresta. Cubo de aresta 2 cm tem 8 cm³, não 6 cm³ nem 2 cm³.
• Rodela cilíndrica: uma fatia de limão é um cilindro achatado. A espessura faz o papel da altura na fórmula. Espessura pequena não significa volume desprezível — aqui ela vale 0,5 cm e entra na conta.
• Corpo totalmente imerso: o sólido submerso ocupa um volume que o líquido não pode ocupar. O espaço livre é o volume do recipiente menos o volume de tudo o que já está dentro. É o mesmo princípio do deslocamento de líquido, visto pelo avesso.
• Aproximação de π: o enunciado manda usar 3. Usar 3,14 aqui daria 424 cm³ para o copo e nenhuma alternativa fecharia. Quando a prova fixa a aproximação, ela é obrigatória.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "copo de formato cilíndrico, com as seguintes medidas: diâmetro = 6 cm e altura = 15 cm" → cilindro de raio 3 cm e altura 15 cm. O raio é a metade, e é ele que vai ao quadrado.
• Evidência 2: "três cubos de gelo, cujas arestas medem 2 cm cada" → três sólidos idênticos, cada um com 8 cm³. O número três é dado de propósito: quem conta um só erra por 16 cm³.
• Evidência 3: "duas rodelas cilíndricas de limão, com 4 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura cada" → dois cilindros de raio 2 cm e altura 0,5 cm.
• Evidência 4: "os cubos de gelo e os limões ficarão totalmente imersos" e "com suas dimensões inalteradas" → nada boia parcialmente e nada derrete. O volume dos sólidos é integralmente subtraído.
• Síntese: a questão pede uma subtração — volume do copo menos volume dos cinco corpos que já ocupam espaço dentro dele.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Volume do copo

Raio da base:

• r = 6 cm ÷ 2 = 3 cm

Volume:

• V_copo = π × r² × h
• V_copo = 3 × 3² × 15
• V_copo = 3 × 9 × 15
• V_copo = 27 × 15 = 405 cm³

4.2 — Volume dos três cubos de gelo

Volume de um cubo:

• V_cubo = a³ = 2³ = 8 cm³

Como são três:

• V_gelo = 3 × 8 = 24 cm³

4.3 — Volume das duas rodelas de limão

Raio de cada rodela:

• r = 4 cm ÷ 2 = 2 cm

Volume de uma rodela, com a espessura no lugar da altura:

• V_rodela = π × r² × e
• V_rodela = 3 × 2² × 0,5
• V_rodela = 3 × 4 × 0,5 = 6 cm³

Como são duas:

• V_limão = 2 × 6 = 12 cm³

4.4 — Espaço ocupado e volume de refrigerante

Total já ocupado dentro do copo:

• V_sólidos = 24 cm³ + 12 cm³ = 36 cm³

Espaço livre:

• V_refrigerante = 405 cm³ − 36 cm³ = 369 cm³

4.5 — Verificação

Os 36 cm³ dos sólidos representam menos de 9% dos 405 cm³ do copo, o que é coerente com o tamanho dos objetos descritos. A resposta tem de ficar um pouco abaixo de 405 cm³ e claramente acima de 350 cm³ — e 369 cm³ satisfaz as duas condições. Gabarito: C.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) 107 — Valor muito abaixo do volume do próprio copo, que já é 405 cm³ antes de qualquer desconto. Só se chega a essa ordem de grandeza errando a área da base: esquecer de elevar o raio ao quadrado reduz o copo de 405 cm³ para 135 cm³ e leva a resposta para essa faixa. A área da base é π × r², não π × r.

❌ (B) 234 — Resultado de trocar volume por área lateral. A superfície lateral do cilindro vale 2 × π × r × h = 2 × 3 × 3 × 15 = 270, e 270 − 36 = 234. O desconto dos sólidos foi feito certo; o erro está em ter usado uma medida de superfície onde o problema pede capacidade.

✅ (C) 369 — O copo comporta 3 × 3² × 15 = 405 cm³. Os três cubos ocupam 3 × 2³ = 24 cm³ e as duas rodelas ocupam 2 × (3 × 2² × 0,5) = 12 cm³, somando 36 cm³. Sobram 405 − 36 = 369 cm³ para o refrigerante.

❌ (D) 391 — Corresponde a 405 − 14, ou seja, ao desconto de um cubo (8 cm³) e uma rodela (6 cm³). É o erro de quem calcula o volume unitário corretamente e esquece de multiplicar pelas quantidades: são três cubos e duas rodelas.

❌ (E) 405 — É o volume total do copo vazio. Ignora a instrução de que o gelo e o limão ficam "totalmente imersos" e ocupam espaço. É a resposta de quem para no primeiro cálculo, e por isso a prova a coloca como a maior das opções.

Gabarito: C — o refrigerante ocupa o que sobra do copo depois de descontados os 24 cm³ de gelo e os 12 cm³ de limão: 369 cm³.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só C se sustenta: é o único valor que sai de calcular corretamente os três volumes e respeitar as quantidades. E, D e B falham cada um em uma etapa distinta.
• Como o ENEM cobra isso: o recipiente com corpos submersos é um clássico. Aparece com gelo em copo, com pedras em aquário, com esferas em cilindro graduado. A pergunta muda de forma, mas o desconto é sempre o mesmo.
• A regra geral: capacidade disponível = volume do recipiente − volume de tudo o que já está imerso. Se o enunciado diz "totalmente imerso" e "dimensões inalteradas", ele está avisando que a subtração é integral.
• Eliminação em 30 segundos: calcule só o copo, 3 × 9 × 15 = 405. A resposta tem de ser menor que isso, o que já derruba E, e não pode ser muito menor, o que derruba A e B. Restam C e D, e a diferença entre elas é só lembrar que são três cubos e duas rodelas.
• Temas que costumam vir junto: volume de prismas e pirâmides, princípio de Arquimedes, conversão entre cm³, mL e litro, e problemas de vazão.