Questão 167 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Exponencial (modelagem e propriedades de potência)
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer a propriedade potência de potência aplicada a um modelo com duas constantes desconhecidas (a e k)
• 🎯 Tema/Habilidade: Crescimento exponencial e leitura de modelos matemáticos aplicados a fenômenos biológicos (Competência de Área 5 — construir e interpretar modelos)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a população de bactérias triplica na primeira hora de observação, quantas vezes N₀ ela equivalerá após cinco horas?"
• Palavras-chave decisivas: triplicado, uma hora, cinco horas
• Armadilha típica: tratar o crescimento como linear e calcular 3 × 5 = 15, ignorando que o modelo é exponencial e o fator de crescimento se multiplica hora após hora, não se soma
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair o fator de crescimento por hora a partir de um único dado (t = 1) e projetá-lo corretamente para outro instante (t = 5) usando propriedades de potência

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial N(t) = N₀ × a^(k×t): N₀ é a quantidade inicial (em t = 0), a é uma constante real maior que 1 (a base de crescimento) e k é uma constante positiva que aparece no expoente controlando a rapidez do crescimento.
• Propriedade da potência de potência: (a^m)^n = a^(m×n). É essa propriedade que permite reescrever a^(k×t) como (a^k) elevado a t, transformando um produto de duas incógnitas (a e k) em uma única incógnita conhecida.
• Fator de crescimento por período: em qualquer modelo exponencial discreto por hora, se a população multiplica por um número fixo r a cada hora, após n horas ela terá multiplicado N₀ por r^n — nunca por r × n.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "N(t) = N₀ × a^(k×t), em que N₀ é o número de bactérias em t = 0, a é uma constante real maior que 1 e k é uma constante real positiva" → confirma que o modelo é puramente multiplicativo (exponencial), e não aditivo.
• Evidência 2: "após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado" → fornece o único dado numérico concreto: N(1) = 3N₀. É esse valor que permite calcular o produto a^k sem precisar conhecer a e k separadamente.
• Evidência 3: a pergunta pede o valor da população após cinco horas de observação, ou seja, N(5).
• Síntese: como a^(k×t) = (a^k)^t, basta descobrir quanto vale a^k (o fator de crescimento por hora) usando o dado de t = 1 e depois elevar esse fator à quinta potência para obter N(5).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o fator de crescimento por hora (a^k)

Substituindo t = 1 na função e usando o dado de que a população triplicou:

N(1) = N₀ × a^(k×1) = N₀ × a^k

Como N(1) = 3N₀, temos:

N₀ × a^k = 3N₀ ⟹ a^k = 3

Subpasso 4.2 — Reescrever N(t) em função de t usando potência de potência

N(t) = N₀ × a^(k×t) = N₀ × (a^k)^t

Substituindo a^k = 3, o modelo fica reduzido a uma única variável:

N(t) = N₀ × 3^t

Subpasso 4.3 — Verificação e cálculo para t = 5

Antes de aplicar t = 5, confira a fórmula simplificada com o dado original: em t = 1, N(1) = N₀ × 3¹ = 3N₀ ✓ (bate exatamente com o enunciado).

Agora, para t = 5:

N(5) = N₀ × 3^5 = N₀ × (3 × 3 × 3 × 3 × 3) = N₀ × 243 = 243N₀

O resultado 243N₀ corresponde exatamente à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3N₀

❌ Incorreta: esse é o valor de N(1), a população após apenas uma hora de observação. Quem marca essa alternativa parou no dado fornecido pelo enunciado e não extrapolou o modelo para t = 5.

B) 15N₀

❌ Incorreta: resulta de um raciocínio linear (3 × 5 = 15), como se a cada hora fossem somadas "3 vezes N₀" ao total. Esse erro ignora a natureza multiplicativa da função exponencial — o fator 3 deve ser aplicado repetidamente (potenciado), não multiplicado pelo número de horas.

C) 243N₀

✅ Correta: aplicando corretamente a propriedade (a^k)^t = 3^t com t = 5, obtém-se 3^5 = 243, logo N(5) = 243N₀.

D) 360N₀

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma operação coerente com o modelo exponencial dado; é um valor-armadilha que só surge de manipulações aritméticas equivocadas (por exemplo, misturar o fator 3 com contagens estranhas ao problema, como 3 × 5! ÷ algo), sem respaldo na propriedade de potências que rege o crescimento descrito.

E) 729N₀

❌ Incorreta: 729 = 3^6, não 3^5. Esse valor aparece quando se conta erroneamente seis "saltos" de triplicação em vez de cinco — um erro clássico de contagem de intervalos, tratando t = 0 como se já fosse a primeira hora de crescimento.

🏆 Gabarito: C — N(5) = N₀ × (a^k)^5 = N₀ × 3^5 = 243N₀, valor obtido ao elevar corretamente o fator de crescimento por hora à quinta potência.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa C é a única compatível com a propriedade de potência de potência aplicada ao modelo N(t) = N₀ × a^(k×t); qualquer outro resultado exige quebrar essa propriedade ou errar a contagem de horas.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente apresenta funções exponenciais com constantes "escondidas" (como a e k aqui) e fornece apenas um dado numérico em um instante específico — a habilidade cobrada é isolar o fator de crescimento por período e reaplicá-lo a outro instante, sem nunca precisar descobrir a e k isoladamente.
• Generalização: sempre que um processo multiplica por um fator constante r a cada unidade de tempo, após n unidades o total acumulado é N₀ × r^n — jamais N₀ + r × n nem N₀ × r × n.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato qualquer alternativa que pareça resultado de multiplicação simples do fator pelo tempo (como 15N₀, típico de 3 × 5); entre as potências de 3 restantes, basta calcular 3^5 = 243 para confirmar a resposta e evitar confundir com 3^6 = 729.
• Conexões: essa mesma lógica de "fator de crescimento por período elevado ao número de períodos" aparece em juros compostos (montante = capital × (1+i)^n) e em decaimento radioativo/meia-vida, sempre que o processo depende de uma taxa constante aplicada repetidamente ao longo do tempo.