Questão 166 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica (PG) aplicada a situações-problema cronológicas
• ⚡ Nível: Médio — a álgebra da PG é simples, mas exige montar corretamente a linha do tempo (quantas esperas realmente existem) sem confundir tentativas com intervalos de espera
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer e somar os termos de uma Progressão Geométrica para modelar o tempo total de um evento cotidiano (Competência de Área 5 — resolver situação-problema envolvendo sequências numéricas)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Some todo o tempo gasto desde a primeira tentativa de digitação até o rádio ativar, na quarta tentativa."
• Palavras-chave decisivas: quarta tentativa, duplica em relação ao tempo de espera anterior, 30 segundos para digitação
• Armadilha típica: contar espera de mais ou de menos — ou esquecer de somar o tempo gasto digitando o código nas 4 tentativas, olhando só para as pausas
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um texto narrativo em uma soma de eventos (digitação + espera), identificando corretamente quantos termos de PG entram na conta e com que razão

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante q. Aqui, cada tempo de espera é o dobro do anterior, logo q = 2.
• Soma dos n primeiros termos de uma PG: Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1), usada para somar rapidamente vários termos sem escrever todos.
• Modelagem por linha do tempo: em problemas de "tentativa → consequência → nova tentativa", o segredo é listar cronologicamente cada bloco de tempo (digitar, esperar, digitar, esperar…) e não misturar o número de tentativas com o número de esperas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente" → o primeiro tempo de espera vale a₁ = 60 s, e essa espera só acontece depois de um erro.
• Evidência 2: "o tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada" → a razão da PG é q = 2, e cada termo dobra o termo individual imediatamente anterior (não a soma acumulada de todos os anteriores).
• Evidência 3: "conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa" → houve 3 erros (tentativas 1, 2 e 3) seguidos de espera, e a 4ª tentativa deu certo, encerrando o processo sem gerar nova espera.
• Evidência 4: "ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera" → não há tempo "morto" extra entre o fim da espera e o início da digitação seguinte; a soma dos blocos é direta.
• Síntese: o tempo total é T = (digitação 1) + (espera 1) + (digitação 2) + (espera 2) + (digitação 3) + (espera 3) + (digitação 4), com 4 digitações de 30 s e apenas 3 esperas em PG de razão 2 começando em 60 s.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a linha do tempo dos eventos

• Tentativa 1: digita (30 s) → erra → espera w₁ = 60 s
• Tentativa 2: digita (30 s) → erra → espera w₂ = 60 × 2 = 120 s
• Tentativa 3: digita (30 s) → erra → espera w₃ = 120 × 2 = 240 s
• Tentativa 4: digita (30 s) → acerta → rádio ativa, fim (sem nova espera)

Note que existem 4 digitações, mas apenas 3 esperas — a espera só ocorre após um erro, e a 4ª tentativa não errou.

Subpasso 4.2 — Somar as esperas com a fórmula da PG

As esperas 60, 120, 240 formam uma PG de a₁ = 60 e q = 2, com n = 3 termos:

Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) = 60·(2³ − 1)/(2 − 1) = 60 × 7 = 420 s

(Confere pela soma direta: 60 + 120 + 240 = 420 s.)

Subpasso 4.3 — Somar digitações e esperas, e verificar

Tempo total de digitação: 4 × 30 s = 120 s

Tempo total de espera: 420 s

T = 120 + 420 = 540 segundos

Esse valor aparece exatamente como alternativa C, confirmando que a montagem da linha do tempo (4 digitações + 3 esperas em PG) está correta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 300

❌ Incorreta: resulta de ignorar a duplicação e tratar as três esperas como constantes (60 s cada): 4×30 + 3×60 = 120 + 180 = 300. Esse erro nasce de não aplicar a informação central do enunciado — que o tempo de espera dobra a cada erro — reduzindo a PG a uma sequência constante.

B) 420

❌ Incorreta: é exatamente a soma das esperas (60+120+240), mas esquece de somar os quatro tempos de digitação (30 s cada tentativa). Quem cai aqui resolveu a parte da PG corretamente, porém não voltou ao enunciado para incluir o "tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa".

C) 540

✅ Correta: soma coerente de 4 digitações de 30 s (120 s) com as 3 esperas em PG de razão 2 a partir de 60 s (420 s), totalizando 540 segundos — exatamente como demonstrado no Passo 4.

D) 660

❌ Incorreta: surge de uma interpretação equivocada da frase "duplica em relação ao tempo de espera anterior", tomando-a como o dobro da soma acumulada das esperas anteriores, e não do termo individual anterior. Isso geraria w₁=60, w₂=120, mas w₃=2×(60+120)=360 em vez de 240, dando 60+120+360=540 s de espera, mais 120 s de digitação = 660 s. O erro conceitual é confundir "termo anterior" com "soma de todos os termos anteriores".

E) 1 020

❌ Incorreta: parte do pressuposto errado de que também há espera após a 4ª tentativa (a que teve sucesso), como se a PG tivesse 4 termos em vez de 3: 60+120+240+480 = 900 s, mais 120 s de digitação = 1020 s. Mas o enunciado deixa claro que a pessoa "conseguiu ativar o rádio" na quarta tentativa — não há erro nem espera depois disso.

🏆 Gabarito: C — o tempo total é a soma de 4 digitações de 30 s (120 s) com a soma dos 3 tempos de espera em Progressão Geométrica de razão 2 e primeiro termo 60 s (420 s), totalizando 540 segundos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas 540 s respeita simultaneamente as duas exigências do enunciado — quatro digitações de 30 s cada e exatamente três esperas que dobram a partir de 60 s — por isso C é a única alternativa compatível com a narrativa.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora embutir uma PG dentro de um texto do cotidiano (senha de rádio, propagação de vírus, reajuste salarial, meia-vida) exigindo que o candidato primeiro identifique a₁ e q escondidos no texto, para só depois aplicar a fórmula da soma.
• Generalização: em problemas de "n tentativas com falha", o número de eventos de consequência (multas, esperas, penalidades) é sempre n − 1 quando a última tentativa é bem-sucedida — contar isso corretamente é metade da resolução.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro apenas a soma das esperas (PG); se bater com uma alternativa "pura" (como 420), desconfie — provavelmente falta somar os tempos de execução da ação (aqui, a digitação) citados à parte no enunciado.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de progressão geométrica sobre bactérias que dobram a cada intervalo de tempo e em problemas de juros compostos, onde a taxa de crescimento constante também gera uma PG.